统计信号处理习题解析

"该资源包含了统计信号处理的学习材料，主要以习题的形式呈现，旨在帮助初学者更好地理解和掌握统计信号分析与处理的概念。习题涵盖了自相关函数、互相关函数、平稳随机过程、线性系统、调制系统、联合广义平稳随机过程以及线性时不变系统的应用等多个核心知识点。" 在统计信号处理中，习题涉及到以下几个关键概念： 1. 自相关函数：自相关函数描述了一个随机信号自身在不同时间点的相关性，即\( R_{xx}(\tau) \)，对于题目中的信号\( x(t) \)，其自相关函数为\( R_{xx}(\tau) = 4\cdot e^{-2|\tau|} \)。当信号通过一个线性系统，如冲激响应为\( h(t) = 3\cdot e^{-ut}u(t) \)的系统时，需要计算输出信号\( y(t) \)的自相关函数\( R_{yy}(\tau) \)。 2. 互相关函数：互相关函数表示两个随机过程之间的相关性，如\( R_{xy}(\tau) \)和\( R_{yx}(\tau) \)。在题目中，我们需要计算输入信号\( x(t) \)和输出信号\( y(t) \)的互相关函数，并在\( \tau = 0 \)和\( \tau = 1 \)时求值。 3. 调制系统：一个信号通过调制系统，例如将\( x(t) \)进行正弦调制得到\( z(t) = x(t)\cos(\omega t) - y(t)\sin(\omega t) \)，我们可以分析输出信号\( z(t) \)的自相关函数，以及在特定条件下证明\( R_{zz}(\tau) = R_{xx}(\tau) \cos^2(\omega \tau) + R_{yy}(\tau) \sin^2(\omega \tau) \)。 4. 联合广义平稳随机过程：对于输入信号\( x_1(t) \)和\( x_2(t) \)，它们的线性组合通过一个系统会产生输出\( y_1(t) \)和\( y_2(t) \)。这里需要推导输出端的互相关函数\( R_{y_1y_2}(\tau) \)与输入端的互相关函数\( R_{x_1x_2}(\tau) \)之间的关系。同时，如果输入信号满足特定条件，如\( x_1(t) + x_2(t) \)，我们还需计算输出信号的均值、自相关函数和功率谱密度。 5. 白噪声和线性时不变系统：白噪声是均值为零、方差为常数的随机过程，本题中为\( \sigma_n^2 = 2 \)。通过线性时不变系统后，我们需要确定输出信号\( y_k \)的均值、与输入噪声的互相关函数以及输出信号的自相关函数。 6. 滤波器的噪声功率：输入到滤波器的白噪声具有单位功率谱密度，滤波器的频率响应为\( H(j\omega) \)。为了计算输出噪声的总功率，我们需要积分滤波器输出的功率谱密度，这涉及到傅里叶变换和滤波器特性。 以上就是统计信号处理习题中的核心知识点，这些习题覆盖了随机过程的基础理论、信号处理的基本操作以及线性系统分析等重要内容，对深入理解统计信号处理有着重要作用。通过解答这些问题，学习者可以提升对统计信号分析与处理的实际应用能力。