信赖域线搜索与拟牛顿法解随机线性互补问题的收敛性研究

本文档主要探讨了一类随机线性互补问题（Random Linear Complementarity Problem, RLCP）的求解策略，结合信赖域线搜索（Trust Region Line Search）和拟牛顿方法。作者针对这类问题提出了一个数值算法，该算法在特定的假设下进行了全局收敛性分析。随机线性互补问题涉及到两个向量集合的交互作用，其中一个是正半定矩阵的作用，另一个是不等式约束的集合，目标是最小化函数值。 研究的核心是构造一个有效的迭代过程，通过信赖域策略来限制每次迭代的步长，以避免可能的局部最优。拟牛顿方法在此过程中被用于估计Hessian矩阵的逆，从而加速搜索进程。算法的关键步骤包括： 1. 初始化：定义问题的函数$f(x)$和不等式约束$g(x)$，以及相应的Hessian矩阵估计$H(x)$。 2. 线搜索：在每个迭代步骤中，算法首先计算信赖域内的搜索方向，并利用拟牛顿方法来估计所需的步长，使得在该步长下函数值下降且满足线性约束。 3. 收敛性分析：论文分析了算法在全局收敛条件下的性能，包括当目标函数$f(x)$和约束函数$g(x)$满足一定的光滑性和凸性时，算法能够保证收敛到RLCP的解。 4. 特殊情况：文中还考虑了Fischer-Burmeister函数的特殊情况，即$F(x)$和$-B(x)$，这些函数常用于处理线性不等式约束的系统。 5. 解的表示：解的表示形式涉及变量$x$、$N$和$Q$，它们与问题的变量和矩阵有关，用于描述问题的最优状态。 6. 求解过程中的迭代公式和终止条件：如$H(x)$的定义、$f(x)$的分解、以及$e$和$z$的更新规则等，这些都是算法实施的关键部分。 这篇文章提供了对于一类随机线性互补问题的理论框架和数值方法，强调了信赖域线搜索和拟牛顿方法在解决这类问题中的重要性，以及算法在保证全局收敛性方面的有效性。这对于理解优化问题特别是约束优化问题的求解技术具有重要意义，有助于在实际应用中提升随机线性互补问题的求解效率和精度。