分数布朗运动与Black-Scholes公式的推广解析

"分数布朗运动下的Black-Scholes公式及其推广" 在金融数学领域，Black-Scholes公式是一个经典的期权定价模型，它假设金融资产价格遵循无记忆的布朗运动。然而，现实市场的复杂性使得这种假设在某些情况下并不适用。分数布朗运动（Fractional Brownian Motion, fBm）作为布朗运动的扩展，考虑了时间序列的长期依赖性，能更好地描述金融市场中的非线性和异质性现象，如股票价格的尖峰肥尾分布和长期记忆性。 Ciprian Necula通过运用分形几何和傅里叶变换理论，推导出了分数布朗运动下的Black-Scholes期权定价公式。尽管他的工作揭示了分数布朗运动与传统布朗运动之间的关系，即当分数指数H=0.5时，分数布朗运动退化为经典布朗运动，但其推导过程涉及的数学知识较为深奥，可能难以被非专业读者理解。 本文作者唐斌和陈柳钦在Necula的工作基础上，采用更为直观的方法重新推导了这个公式，并且对比分析了两种情况下的Black-Scholes公式，以展示布朗运动是分数布朗运动的特殊情况。这样的比较有助于阐明分数布朗运动在期权定价中的优越性，尤其是对于描述金融市场中的非正态分布和相关性。 进一步，作者将分数布朗运动下的Black-Scholes公式推广到了更广泛的金融产品，包括看涨-看跌期权的平价关系以及有红利支付的股票期权定价。这扩展了Black-Scholes模型的应用范围，使其能够在更复杂的市场环境中进行有效的金融工具定价。 分形市场假设，由Peters在1994年提出，是对有效市场假设的一种补充。它认为市场的价格运动并非完全随机，而是具有分形结构和非周期循环。分数布朗运动与分形市场假设相结合，为理解和模拟这种复杂行为提供了数学工具。 这篇论文深入浅出地探讨了分数布朗运动如何改进传统的Black-Scholes期权定价模型，并通过理论推导和实证分析，揭示了金融市场的非线性特性。这不仅有助于金融理论的发展，也为实际的金融市场分析提供了更准确的定价工具。