非负矩阵分解(NMF)算法详解与目标函数

"这篇资源主要讨论了非负矩阵分解（NMF）算法，特别是其目标函数和优化策略。NMF是一种在数据挖掘、图像处理和文本分析等领域广泛应用的矩阵分解技术，它要求分解的矩阵元素均为非负。文章介绍了由D.D. Lee和H.S. Seung提出的两种目标函数，包括欧氏距离和K-L散度，并提供了相应的乘性与加性更新规则来优化W和H矩阵。NMF的主要目的是找到两个非负矩阵W和H，使得它们的乘积尽可能接近原始非负矩阵V。这种方法常用于数据降维和特征提取，因为分解结果可以直观地解释为基向量的加权和，反映了数据的结构和特性。" 非负矩阵分解(NMF)是一种数学工具，用于将非负的数据矩阵分解为两个非负矩阵的乘积，即V=WH。这个过程在多个领域有着广泛的应用，如文本挖掘、图像分析和信号处理，因为它能够揭示数据的内在结构并提供可解释的特征表示。 文章中提到了NMF算法的优化过程通常转化为寻找目标函数的最小值。Lee和Sung提出了两种常见目标函数： 1) 欧氏距离(Euclidean distance)：用于衡量分解矩阵A和B之间的相似度，当A=B时，欧氏距离E(A||B)达到最小值0。乘性更新规则用于在这种目标函数下迭代优化W和H矩阵，公式如下： \( W \leftarrow W \odot \frac{VH^T}{WHH^T} \) \( H \leftarrow H \odot \frac{VW^T}{WHW^T} \) 其中，\(\odot\) 表示元素-wise乘法。 2) Kullback-Leibler(KL)散度：这是另一种衡量两个概率分布差异的度量，当A=B时，D(A||B)最小为0。乘性更新规则在此目标函数下进行如下： \( W \leftarrow W \odot \frac{VH^T}{(WH)^TWH} \) \( H \leftarrow H \odot \frac{(VW^T)^T}{(WH)^TW} \) 此外，还有加性更新法则，例如在欧氏距离下的更新规则： \( W \leftarrow W + \alpha(VWH^T - WHH^T) \) \( H \leftarrow H + \alpha(VW^T - WHW^T)(WH^T)^{-1} \) 这里的α是学习率，控制每次迭代的步长。 NMF的收敛性可以通过类似EM算法的辅助函数方法进行证明，也可以看作是带有特定尺度因子的梯度下降，这些因子确保了收敛性。NMF的吸引力在于其分解结果的非负性和直观解释，使数据的解析更加符合人类的理解方式，便于进行深入的分析和解释。 在实际应用中，NMF通常用于降维，通过选择较小的秩r来压缩数据，同时保留关键信息。这有助于减少存储需求，提高计算效率，而且分解后的基矩阵和系数矩阵可以提供对原始数据的有意义的解读。例如，在文本分析中，基矩阵可以视为主题，系数矩阵则表示每个文档对各个主题的贡献程度。