MATLAB实现主成分分析：降维与信息抓取

【老生谈算法】MATLAB-主成分数据处理文档深入探讨了主成分分析这一多元统计方法在MATLAB中的应用。主成分分析，由皮尔逊和霍特林分别于1901年和1933年发展，其核心思想是通过线性变换将多维数据降维为少数几个互相独立的主成分，以便更好地理解数据结构和减少冗余信息。 11.1 主成分分析简介： - 几何意义：主成分分析通过观察样本数据在二维或更高维度空间的分布，比如从二元总体中抽取的n个样本，散点大致位于一个椭圆区域内。初始坐标系中的变量可能相关性强，信息重叠。通过逆时针旋转坐标轴，使新坐标系中第一个主成分（通常是方差较大的方向）指向数据变异最大的方向，而后续主成分则依次捕捉剩余变异。这样，第一主成分保留了大部分信息，后续主成分的方差递减。 - 总体的主成分求解：基于一个p维总体，我们假设期望和协方差矩阵已知。目标是找到一组正交的单位向量[pic]，通过线性变换[pic]最大化[pic]的方差。这一步是求解特征值问题，特征向量即为主成分方向，特征值对应方差。 在MATLAB中，实现主成分分析主要包括以下步骤： 1. 数据预处理：标准化或中心化数据，确保所有变量在同一尺度上。 2. 计算协方差矩阵：如果数据未标准化，需先计算协方差矩阵；如果标准化，直接使用数据。 3. 特征值分解：使用`eig()`函数计算协方差矩阵的特征值和特征向量。 4. 选择主成分：选择前k个最大特征值对应的特征向量作为前k个主成分。 5. 转换数据：使用旋转矩阵将原始数据投影到新的主成分坐标系。 6. 可视化：展示原始数据在主成分空间的分布，便于理解数据结构和变量之间的关系。 MATLAB提供了`princomp()`函数来方便地执行主成分分析，同时提供了丰富的可视化工具如`scatterplot()`或`biplot()`来辅助理解和解释分析结果。通过这个文档，读者可以学习如何在实际项目中有效地使用MATLAB进行主成分分析，以便更好地理解和处理复杂的数据集。