群表示理论入门：线性空间与抽象群的同态映射

"群表示理论-偏微分方程数值解法陆金甫" 群表示理论是数学中的一个重要分支，尤其在物理学中有着广泛的应用。它将抽象群的结构与线性空间中的线性变换相结合，形成一种数学描述方法。群表示论的核心在于找到一种方式，用线性代数的语言来描述群的性质。在这里，群G被映射到线性空间V上的线性变换群L(V, C)，这种映射被称为群表示。 群表示是一个同态映射，它保持群的结构不变，即将群的运算规则保留在线性变换群中。具体来说，如果一个群G的元素g与线性变换A对应，那么群G的乘法规则在表示下转化为矩阵乘法。在初始阶段，我们用A表示线性变换，[A]表示其在特定基下的矩阵形式。随着对群表示理解的深入，通常不再区分变换本身和它的矩阵表示。 线性空间是群表示理论的基础，它是包含加法和数乘运算的向量集合。线性空间可以是实数域R或复数域C上的向量集，这些运算满足封闭性、交换律、结合律、存在零元、存在单位元以及数乘的分配律。在实际应用中，如物理学中的问题，线性空间往往用来描述系统的状态或特征。 群论在物理学中的应用尤其显著，尤其是在量子力学、凝聚态物理和光学等领域。例如，群论可以帮助我们理解量子力学的本征态、能带结构、光谱分析以及全同粒子的性质。在凝聚态物理中，群论用于分析晶体结构和电子态，而在光学中，它可以解释光的对称性和色散关系。 北京大学物理学院的《群论》课程分为两部分，秋季学期的《群论一》主要介绍有限群的概念，并探讨其在物理学中的应用，如量子力学的能带计算和光谱分析。春季的《群论二》则更深入地讲解李群和李代数，这通常是理论物理专业学生的研究基础。 教授群论时，强调入门和建立课程内容与实际研究的联系至关重要。通过使用口语化语言和实际例子，可以增强学生的理解和兴趣，帮助他们更好地掌握群论，并将其应用于科研工作中。群论的教材和教学资源通常涵盖多种来源，如田光善、韩其智、孙洪洲和王宏利等教师的著作，以及教师们在长期教学实践中积累的经验。 群表示理论是连接抽象数学与具体物理现象的桥梁，它使得数学工具能够精确地描述物理系统中的对称性和守恒定律，从而在解决复杂物理问题时发挥关键作用。通过深入学习和实践，群论成为理解和解决科学问题的强大武器。