最小多项式：GF(2m)循环码与BCH码的构造原理

最小多项式-BCH编、译码原理 在数字通信和纠错编码领域，BCH（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem）码是一种重要的循环码，广泛应用于数据传输的错误检测和纠正。BCH码的核心概念围绕着GF(2m)中的元素和它们的最小多项式展开。 **最小多项式** 在有限域GF(2m)中，一个元素ß如果有一个使得m(ß)=0的最低次多项式m(x)，且这个多项式仅包含ß的幂次，且对ß的所有可能循环周期根都成立，那么m(x)被称为ß的最小多项式。最小多项式是既约的，意味着它不能再分解为更低次的多项式乘积。例如，在GF(2^4)中，如果ß是a的一个根，其最小多项式可能为mi(x)=(x+a)(x+a2)(x+a4)(x+a8)。 **循环码性质** 循环码的定义是每个码字经循环移位后仍保持为码字。对于线性分组码来说，如果C是一个(n,k)码，其中n是码长，k是信息位数，且每次将码字向右移一位后得到的新序列也是码字，那么C就被认为是循环码。如第五章中的(7,3)码，通过循环移位可以验证其循环特性。 **码多项式与循环移位** 每个码字C可以通过码多项式C(x)来表示，它是对应码字系数的逆序排列。例如，码字C=[0010111]的码多项式为C(x)=x^4+x^2+x+1。而码多项式与循环移位紧密相关，如已知C(x)=x^7+x^3+x+1，可以从多项式中反向推导出原始码字C。 **首一多项式与模运算** 首一多项式指的是最高次幂为1的多项式，例如f(x)=x^7+1。多项式的余数概念在此处类似于整数的模运算，通过除法计算两个多项式关于某一个首一多项式的余数。例如，x^7+1能整除x^7+x^6+x^5+x^3和x^6+x^5+x^3+1，这两个多项式关于x^7+1是同余的。 总结来说，最小多项式-BCH编、译码原理主要涉及如何通过有限域GF(2m)中的最小多项式来构建循环码，以及如何利用码多项式表示和操作码字，从而实现高效的数据编码和错误检测/纠正。循环码的构造依赖于循环移位特性，而首一多项式和模运算在编码和解码过程中起到了关键作用。理解这些概念有助于在实际通信系统中设计和优化纠错编码方案。