2018年线性代数期末考试A卷：实对称矩阵与正定性

本资源是一份2018年计算机科学与技术专业的线性代数期末考试试卷（A卷），涵盖了人工智能、网络安全等相关领域的基础知识。以下是部分知识点的详细解析： 1. **非齐次线性方程组解的存在性** - 如果一个矩阵A的秩RA=m，且非齐次线性方程组Ax=b有解，这表明线性系统的系数矩阵A的行向量组线性无关，从而至少有m个线性独立的解，即方程组有解。 2. **正交变换与基底的关系** - 一个正交变换保持基底的长度不变，但不改变向量之间的角度，因此对于基底中的向量，其经过正交变换后的结果与原向量之间的内积保持不变。 3. **行列式的符号规则** - 在五阶行列式中，如果元素ααααα按某种顺序排列形成的一个子式（如2132451453）的符号为1，根据行列式的符号规则，这表明整个行列式的符号由这些元素所在的行和列的交替符号决定。 4. **实对称矩阵的正定性** - 实对称矩阵A正定的充要条件是对于所有非零向量X，都有X^TAX > 0，即不仅A是可逆的，而且其对所有非零向量的内积都为正，这表明矩阵的性质不仅仅关乎其秩，还涉及其对向量的正作用。 5. **正交矩阵的乘积** - 当两个n阶正交矩阵A和B相乘时，结果矩阵C=AB仍然是正交矩阵，因为正交矩阵的乘积保持正交性。 6. **矩阵相似性和合同性的区别** - 如果矩阵A和B满足PTAP=B（P可逆），则它们是相似的；如果仅满足PTAP=B，则它们是合同的，相似性意味着有更多的结构关系，而合同性则更强调相似矩阵通过非奇异矩阵的伸缩和平移。 7. **矩阵乘积的特征** - 如果AB=O（零矩阵），则A和B的乘积的列向量组线性相关，且线性方程组AX=O会有非零解，因为零矩阵的列向量都是其他列向量的线性组合。 8. **子空间的维数** - 在向量空间中，若向量的特定线性组合等于零（如前3个分量之和为0），则构成的子空间维数会小于原始空间的维数，这里可能因为存在限制条件减少了自由度，具体维数需考虑具体题目给出的条件。 9. **行列式计算** - 试卷包括了行列式的计算题，考察学生对行列式定义及性质的理解，例如四阶行列式的计算，需要运用行列式的展开、行列式的性质以及特定矩阵的特征。 这些知识点构成了线性代数的基础内容，对于理解矩阵运算、线性变换、特征值和特征向量、以及矩阵相似性和合同性等概念至关重要。同时，对矩阵正定性、行列式的计算和子空间维度的确定也是衡量学生对核心理论掌握程度的重要指标。