混合单调算子不动点定理：无连续性和紧性条件

"一类混合单调算子的不动点定理，孙钦福，栾世霞，利用锥理论和单调迭代方法，讨论了非单调算子方程解的存在唯一性及迭代收敛性，得出新不动点定理和误差估计，是已知结果的改进和推广。关键词：锥理论；混合单调算子；正规锥；不动点。" 本文深入探讨了一类特殊的算子——混合单调算子的不动点理论，这种算子在非线性积分方程和微分方程的研究中具有重要意义。混合单调算子的概念由郭大钧教授在1987年首次提出，并在此后吸引了众多研究者的关注。不同于传统的不动点理论，该文的贡献在于它不依赖于算子的连续性或空间的紧性，而是基于特定的序条件来研究解的存在性和唯一性。 文章首先介绍了基本的数学背景，其中包括实Banach空间E，其内的正规锥P以及由P诱导的半序关系。作者孙钦福和栾世霞定义了混合单调算子，这类算子对于两个变量u和v，在固定一个变量时，关于另一个变量保持单调递增。具体来说，算子A:D×D→E满足两个条件：(1)对于固定的v，Auv关于u单调递增；(2)对于固定的u，Auv关于v单调递增。 接下来，文章的核心部分是定理1，该定理揭示了在特定条件下，混合单调算子存在唯一不动点的结论。即使没有连续性或紧性的假设，作者通过锥理论和单调迭代方法，证明了解的存在性和唯一性。此外，他们还提供了迭代过程的误差估计，这一结果不仅改进了之前文献中的某些定理，而且扩大了应用范围。 文章进一步讨论了增算子和减算子的情况，这些都是混合单调算子的特例。这些扩展和改进使得理论更加全面，为实际问题的求解提供了更为强大的工具。通过这种方式，作者有效地解决了在某些复杂环境中，由于缺乏传统假设而难以应用经典不动点定理的问题。 这篇论文在不动点理论领域提出了新的见解，特别是在处理非连续、非紧的混合单调算子时，提供了一种有效的方法。这对于非线性分析和应用数学的研究具有深远的影响，为后续的理论发展和实际问题的解决奠定了坚实的基础。