线性判别函数与感知机：理论与应用

"感知机方法小结 - 线性判别函数" 本文主要讨论了感知机方法在解决线性可分问题中的应用，重点介绍了感知机的学习策略，包括固定增量法与可变增量法、批量样本修正法与单样本修正法，并探讨了其理论上的收敛性。此外，还提到了线性判别函数在模式识别中的重要作用。 1. 感知机学习策略： - 固定增量法与可变增量法：感知机在更新权重时，可以采用固定或可变的学习速率。固定增量法中，每次迭代权重的更新量是恒定的；而可变增量法则根据样本到决策边界的距离动态调整更新速率，这通常能加速收敛过程。 - 批量样本修正法与单样本修正法：批量修正法处理整个样本集，一次性更新权重，而单样本修正法则每次仅对一个样本进行处理，更适用于在线学习环境，即数据流不断到来的情况。理论证明，当训练样本集线性可分时，不论初始权向量如何，这两种方法都能确保有限次迭代后收敛。 2. Fisher判别： Fisher判别是线性判别函数的一种，它旨在找到最大化类别间距离同时最小化类别内距离的投影方向。这一方法基于统计学的Fisher准则，对于高维特征空间中的数据降维和分类有显著效果。 3. 模式识别与线性判别函数： 在模式识别中，线性判别函数扮演着核心角色。通过定义一个决策面，可以将特征空间分割为不同的类别区域。决策面通常由权向量w和阈值w0确定，形式为wTx+w0=0，其中x是样本特征向量。线性判别函数的目标是找到最优的w和w0，以使类别边界尽可能清晰，从而减少分类错误。 4. 贝叶斯分类器的局限性： 贝叶斯分类器在理论上最优，但实际应用中往往受限于难以获得准确的先验概率和条件概率分布。因此，直接基于样本确定判别函数成为一种必要。 5. 直接确定判别函数： 由于贝叶斯分类器的局限，研究者提出了各种基于样本的判别函数，如感知机准则函数。这些函数不依赖于概率密度，而是寻找满足特定准则（例如最大间隔、最小错误率等）的分类器。尽管它们可能不是错误率最小的，但它们是实际问题中可行且有效的次优解决方案。 6. 线性判别函数的简单形式： 最简单的线性判别函数是基于点积的形式，即g(wTx)=wTx+w0。根据这个函数，可以设定决策规则，当g(wTx)>0时，样本归类到某一类，否则归类到另一类。这种方法直观且易于计算，尤其适合解决两分类问题。 感知机方法提供了一种有效且直观的在线学习算法，尤其在处理线性可分问题时。通过不断迭代修正权重，它能够在有限步数内找到划分训练样本的决策边界，是机器学习领域中基础且重要的工具。同时，线性判别函数在模式识别中占据重要地位，不仅简化了分类问题，而且在许多实际应用中表现良好。