Λ-1-折叠稳定环上二次型群K1的预稳定性

195 浏览量更新于2024-09-06 收藏 274KB PDF 举报

"∧-1-福特稳定环上二次型群的K1研究" 在数学领域，特别是同调代数和K理论中，"∧-1-福特稳定环上二次型群的K1"是一个重要的课题。这篇由游宏和叶圣奎合著的论文首次深入探讨了在Bass ∧-1-福特稳定条件下的二次型群KU1的性质。这里的Bass稳定范围条件是研究K理论中的一个关键工具，它帮助我们理解环的结构以及它们在K理论中的表示。二次型群U2n与一般线性群GLn有密切关系，而它的子群EU2n则对应于GLn的元素子群En。对于一般线性群，已知在Bass的第一稳定范围内，K1（GLn）可以被表示为GL1中的单位元模去某些特定关系的商。论文作者在这篇文章中，扩展了这一结果，给出了在∧-1-福特稳定环上的二次型群KU1的刻画，这是在更广泛的环结构下对K1理论的一个贡献。 K1理论研究的是环上的单位元群在某些映射下的行为，这些映射保持了环的基本结构。在这个理论中，"prestability"（预稳定性）是一个核心概念，它涉及环的K理论群在扩展时保持不变的性质。在二次型群的背景下，预稳定性意味着在某种意义上，环的K1群与环的特定扩展有关联，即使环本身变化，K1群的结构也能保持一定程度的稳定性。论文的作者考虑了一个带有反自同构的环R，这个反自同构使得环上的每个元素x都有对应的xε=x^(-1)，其中ε是环中的一个单位元，满足ε^(-1)=ε。这导致了环Rε的定义，它是所有x减去其ε变换的元素的集合，以及矩阵环MnR上的相应反自同构。 Λ-1-福特稳定条件是一个关于环的条

and

(R, Λ) = U(R, Λ)/EU (R, Λ).

According to the Hermitian Whitehead lemma ([9], [10], [8]), KU

(R, Λ) is an abelian

group. Let

1,n

(R, Λ) = U

(R, Λ)/EU

(R, Λ)

and let

W (R) =< (a + c + abc)(a + c + cba)

−1

where a, b, c ∈ R with a + c + abc ∈ GL

R (the set of units in R), and

V (R) =< (1 + ab)(1 + ba)

−1

where a, b ∈ R with 1 + ab ∈ GL

Our main results are the following.

Theorem 1 Suppose R satisﬁes the Λ-1-fold stable range condition. Then the stabilization

map

1,n

(R, Λ) → KU

(R, Λ)

is an isomorphism for all n ≥ 2, and

(R, Λ)/

(R, Λ) → KU

(R, Λ)

is an isomorphism, where

(R, Λ) denotes the subgroup of U

(R, Λ) generated by EU

(R, Λ)

and D = {diag(d,

−1

)|d ∈ W (R)}.

Theorem 2 Suppose R satisﬁes the Λ-1-fold stable range condition. Then

(R, Λ) = GL

R/W (R)S

where S

=< (a + c + abc)u > with a, c,

b ∈ Λ or a, c, b ∈ Λ, u ∈ GL

R ∩ Λ or u ∈ GL

R ∩ Λ,

and a + c + abc in GL

Theorem 3 Suppose R satisﬁes the unit Λ-1-fold stable range condition. Then the stabi-

lization map

(R, Λ)

(R, Λ) → KU

(R, Λ)

is an isomorphism, where

(R, Λ) denotes the subgroup of U

(R, Λ) generated by EU

(R, Λ)

and D = {diag(d,

−1

) | d ∈ V (R)}; and

(R, Λ) = GL

R/V (R)S

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