离散化小波变换：信息冗余与尺度位移平面

"本文档涵盖了尺度离散化的小波变换和小波标架的概念，出自《digital communication 3rd edition by john r. barry edward a. lee》以及《现代信号处理》一书，作者胡广书。内容涉及连续小波变换的离散化处理，以适应计算机实现，并探讨了信息冗余的问题。" 在信号处理领域，小波变换是一种重要的工具，用于分析信号在时间和频率域的分布。在实际应用中，由于计算机处理的限制，通常需要将连续的小波变换离散化。在9.8章节中，作者讨论了如何通过尺度a和位移b的离散化来实现这一过程。 首先，连续小波变换的定义是基于三个连续变量：时间t、尺度a和位移b。离散化的目标是将这些连续变量转换为离散形式，以便在数字系统中进行计算。离散化不仅可以简化计算，还可以减少存储需求，因为并非所有的时间-频率信息都是必要的。 对于尺度a的离散化，通常采用幂级数的形式逐步增大a。例如，如果初始尺度a0=2，则后续尺度可以是2的幂次，如2^j。这种离散化方式产生了所谓的“半离散化二进小波”。 在离散小波变换中，信息冗余是一个关键问题。例如，STFT（短时傅立叶变换）和小波变换都存在冗余，因为它们可以用少于完整采样点的数据恢复原始信号。离散化策略的一个关键任务是确定a和b的采样步长，以确保信号的精确重构。 Gabor展开（9.8.2）和双线性变换（9.8.3）提供了信号的两种不同表示，它们在时-频平面上的位置不同。Wigner分布（9.8.1）和小波变换（9.8.4）则提供了其他两种表示，其中Wigner分布特别关注交叉项行为，而小波变换则通过多分辨率分析提供精细的时间-频率分辨率。 胡广书的《现代信号处理》进一步深入讨论了时-频分析、多抽样率信号处理和小波变换。时-频分析包括短时傅立叶变换、Gabor展开、Wigner分布和Cohen类分布。多抽样率信号处理涉及信号抽取、插值、多相表示和滤波器组，这些是实现小波变换的基础。小波变换部分介绍了离散小波变换的多分辨率分析、实现方法、正交小波和双正交小波的构造，以及小波包的基本概念。 尺度离散化的小波变换和小波标架是现代信号处理的重要组成部分，它们为信号的高效分析和处理提供了理论基础和实用工具。通过离散化和优化采样策略，可以实现对复杂信号的有效分析，同时降低计算和存储成本。