使用Legendre谱方法解决Abel积分方程的数值反演

"求解Abel积分方程的Legendre谱方法" 本文主要探讨了利用Legendre谱方法解决Abel积分方程的数值反演问题。Abel积分方程在数学物理反问题中扮演着重要角色，这类问题通常涉及到从部分已知信息中恢复或推断出未知参数，而这类反问题往往具有不适定性，即解决方案可能对微小的输入变化极其敏感，导致不稳定的结果。 首先，作者指出Abel积分方程的数值反演可以分解为两个步骤：数值微分和数值积分。数值微分是一个典型的不适定问题，因为它容易受到噪声的影响，导致计算结果不稳定。为了解决这一问题，文章提出采用Legendre谱方法进行数值微分。Legendre谱方法是一种基于 Legendre 多项式的数值方法，它能够提供高精度的离散化，通过引入适当的截断策略，可以有效地减少噪声影响，从而得到更稳定的数值微分结果。 其次，针对数值积分部分，由于Abel积分方程可能存在奇异点，因此需要特殊的处理方法。文章提出了一种消除奇异性的方法来处理这个问题，确保在计算积分时能有效避免奇异点对结果的干扰。这种方法有助于提高数值积分的准确性和稳定性。 理论分析和数值实验都验证了所提出的新方法的有效性。通过应用Legendre谱方法和处理奇异积分的策略，可以得到高效且稳定的Abel积分方程反演结果。这种方法对于解决实际中的数学物理反问题具有重要的实用价值，特别是在那些不适定问题的求解中，能够提供可靠的数值解。 关键词：计算数学；Legendre谱；数值微分；Abel积分方程 文章分类：O241（数学物理） "求解Abel积分方程的Legendre谱方法"这篇首发论文提出了一个创新的数值方法，它结合了Legendre谱的精确性和对奇异积分的特殊处理，为解决数学物理反问题中的Abel积分方程提供了新的思路和工具，有助于推动相关领域的研究进展。