计算几何基础：矢量叉积与线段拐向判断

"计算几何文档(1)1" 计算几何是一个关键的数学分支，它专注于研究和解决几何问题的算法。在多个领域，包括图形学、机器人技术、集成电路设计和统计学，计算几何都有广泛的应用。特别是在游戏开发中，计算几何扮演着至关重要的角色，帮助处理碰撞检测、路径规划等复杂问题。 文档中提到了一个重要的概念——矢量的叉积。矢量叉积是计算几何中常用的工具，用于确定两个矢量的方向关系。如果两个矢量P=(x1, y1)和Q=(x2, y2)，它们的叉积定义为P×Q=x1*y2-x2*y1，结果是一个标量。叉积具有反对称性，即P×Q=-(Q×P)。此外，P×(-Q)=-(P×Q)。在计算中，点通常被视为矢量，点的加减操作相当于矢量相加减，点的乘法则视为叉积。 右手坐标系统可以用来直观理解叉积的方向。在右手坐标系中，如果右手的四个手指沿着P矢量方向伸展，然后弯曲指向Q矢量方向，那么拇指所指的方向就是叉积(P×Q)的方向。这可以帮助判断矢量间的相对位置：如果P×Q>0，P在Q的顺时针方向；如果P×Q<0，P在Q的逆时针方向；如果P×Q=0，则P与Q共线，可能同向或反向。 利用叉积的这些性质，可以判断两条有公共端点的线段的拐向。例如，对于线段p0p1和p1p2，通过计算(p2-p0)×(p1-p0)的符号，可以确定线段在p1点的拐向。如果(p2-p0)×(p1-p0)>0，线段在p1点向右拐；如果(p2-p0)×(p1-p0)<0，线段向左拐；如果等于0，线段在p1点没有转折或共线。 这样的算法在游戏引擎如Cocos2d-x中尤其有用，因为它们允许开发者高效地处理图形的旋转、碰撞检测和路径规划。即使不是使用Cocos2d-x，只要稍作调整，这些算法也能应用于其他游戏引擎或计算几何的场景。 叉积的实现代码如下： ```cpp double vectorProduct(double x1, double y1, double x2, double y2) // 行列式 { return (x1 * y2 - x2 * y1); ///< 叉积 } ``` 这个函数可以计算两个二维矢量的叉积，并返回一个标量值，代表了两个矢量之间的方向关系。 总结起来，计算几何的核心在于利用数学算法解决几何问题，而矢量叉积是其中的关键工具，用于判断矢量方向和线段拐向，这对于游戏开发和许多其他领域都至关重要。在实际应用中，开发者可以利用这些基本算法来创建更复杂的几何逻辑。