Matlab矩阵运算全解：diag, tril, triu, Cholesky, LU与QR分解

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在MATLAB中，矩阵是数据处理和算法计算的核心工具，矩阵的基本运算命令对于理解和使用这个强大的数值计算环境至关重要。本文档详细介绍了MATLAB中几个核心矩阵运算命令，包括： 1. **diag** 函数：该函数用于创建或操作矩阵的对角线元素。它有三个形式： - `X = diag(v,k)`：根据指定偏置 `k` 创建对角矩阵，其中 `v` 是对角线上的元素，当 `k=0` 时 `v` 位于主对角线，正值 `k` 代表上三角，负值表示下三角。 - `v = diag(X,k)`：提取矩阵 `X` 的对角线元素，`k` 同上。 - `v = diag(X)`：仅提取主对角线元素。 2. **tril** 和 **triu** 函数：这两个函数分别用于获取矩阵的下三角和上三角部分。它们接受矩阵 `X` 和一个可选参数 `k`，`k=0` 代表主对角线，正负值分别对应上/下三角区域。 3. **矩阵转置和重塑**： - **reshape** 函数用于改变矩阵的维度，允许将矩阵重新组织成不同的形状。例如，`B = reshape(A,m,n)` 将矩阵 `A` 转换为 `m` 行 `n` 列的新矩阵。 4. **重复矩阵（repmat）**：用于重复矩阵元素并形成新的矩阵，如 `B = repmat(A,m,n)` 会将 `A` 重复 `m` 次行、`n` 次列。 1.3 **矩阵分解**： - **Cholesky分解**：`R = chol(X)` 计算矩阵 `X` 的 Cholesky分解，得到上三角矩阵 `R` ，满足 `R'*R = X`，常用于求解线性方程组。 - **LU分解**：`[L,U] = lu(X)` 或 `[L,U,P] = lu(X)` 分别给出矩阵 `X` 的LU分解，其中 `L` 为下三角矩阵，`U` 为上三角矩阵，`P` 是用于实现行交换的矩阵。 - **QR分解**：`[Q,R] = qr(A)` 进行 QR 分解，返回正交矩阵 `Q` 和上三角矩阵 `R` ，满足 `Q*R = A` 或者可以用来解决最小化范数问题。总结来说，这些命令覆盖了矩阵的创建、对角线操作、矩阵重构以及常见的矩阵分解方法，是MATLAB编程中的基础工具。熟练掌握这些命令能极大地提升你在处理数值计算和线性代数问题时的效率。

1.1 矩阵的表示

1.2 矩阵运算

1.2.14 特殊运算
1．矩阵对角线元素的抽取
函数 diag
格式 X = diag(v,k) %以向量v的元素作为矩阵X的第k条对角线元素，当k=0时，v为X的主对角线；当k>0时，v为上方第k条对角线；当k<0时，v为下方第k条对角线。
X = diag(v) %以v为主对角线元素，其余元素为0构成X。
v = diag(X,k) %抽取X的第k条对角线元素构成向量v。k=0：抽取主对角线元素；k>0：抽取上方第k条对角线元素；k<0抽取下方第k条对角线元素。
v = diag(X) %抽取主对角线元素构成向量v。
2．上三角阵和下三角阵的抽取
函数 tril %取下三角部分
格式 L = tril(X) %抽取X的主对角线的下三角部分构成矩阵L
L = tril(X,k) %抽取X的第k条对角线的下三角部分；k=0为主对角线；k>0为主对角线以上；k<0为主对角线以下。
函数 triu %取上三角部分
格式 U = triu(X) %抽取X的主对角线的上三角部分构成矩阵U
U = triu(X,k) %抽取X的第k条对角线的上三角部分；k=0为主对角线；k>0为主对角线以上；k<0为主对角线以下。
3．矩阵的变维
矩阵的变维有两种方法，即用“：”和函数“reshape”，前者主要针对2个已知维数矩阵之间的变维操作；而后者是对于一个矩阵的操作。
（1）“：”变维
（2）Reshape函数变维
格式 B = reshape(A,m,n) %返回以矩阵A的元素构成的m×n矩阵B
B = reshape(A,m,n,p,…) %将矩阵A变维为m×n×p×…
B = reshape(A,[m n p…]) %同上
B = reshape(A,siz) %由siz决定变维的大小，元素个数与A中元素个数
相同。
（5）复制和平铺矩阵
函数 repmat
格式 B = repmat(A,m,n) %将矩阵A复制m×n块，即B由m×n块A平铺而成。