Matlab矩阵运算全解：diag, tril, triu, Cholesky, LU与QR分解

1.1  矩阵的表示

1.2  矩阵运算

1.2.14  特殊运算
1．矩阵对角线元素的抽取
函数  diag
格式  X = diag(v,k)   %以向量v的元素作为矩阵X的第k条对角线元素，当k=0时，v为X的主对角线；当k>0时，v为上方第k条对角线；当k<0时，v为下方第k条对角线。
X = diag(v)    %以v为主对角线元素，其余元素为0构成X。
v = diag(X,k)   %抽取X的第k条对角线元素构成向量v。k=0：抽取主对角线元素；k>0：抽取上方第k条对角线元素；k<0抽取下方第k条对角线元素。
v = diag(X)    %抽取主对角线元素构成向量v。
2．上三角阵和下三角阵的抽取
函数  tril   %取下三角部分
格式  L = tril(X)     %抽取X的主对角线的下三角部分构成矩阵L
L = tril(X,k)    %抽取X的第k条对角线的下三角部分；k=0为主对角线；k>0为主对角线以上；k<0为主对角线以下。
函数  triu    %取上三角部分
格式  U = triu(X)    %抽取X的主对角线的上三角部分构成矩阵U
U = triu(X,k)   %抽取X的第k条对角线的上三角部分；k=0为主对角线；k>0为主对角线以上；k<0为主对角线以下。
3．矩阵的变维
矩阵的变维有两种方法，即用“：”和函数“reshape”，前者主要针对2个已知维数矩阵之间的变维操作；而后者是对于一个矩阵的操作。
（1）“：”变维
（2）Reshape函数变维
格式  B = reshape(A,m,n)       %返回以矩阵A的元素构成的m×n矩阵B
B = reshape(A,m,n,p,…)   %将矩阵A变维为m×n×p×…
B = reshape(A,[m n p…])   %同上
B = reshape(A,siz)        %由siz决定变维的大小，元素个数与A中元素个数
相同。
（5）复制和平铺矩阵
函数  repmat
格式  B = repmat(A,m,n)       %将矩阵A复制m×n块，即B由m×n块A平铺而成。

B = repmat(A,[m n])      %与上面一致
B = repmat(A,[m n p…])   %B由m×n×p×…个A块平铺而成
repmat(A,m,n)           %当A是一个数a时，该命令产生一个全由a组成的m×n矩阵。
 1.3  矩阵分解
1.3.1  Cholesky分解
函数  chol
格式  R = chol(X)      %如果X为n阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异上三角阵R，满足R'*R = X；若X非正定，则产生错误信息。
[R,p] = chol(X)   %不产生任何错误信息，若X为正定阵，则p=0，R与上相同；若X非正定，则p为正整数，R是有序的上三角阵。
1.3.2  LU分解
矩阵的三角分解又称LU分解，它的目的是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
函数  lu
格式  [L,U] = lu(X)     %U为上三角阵，L为下三角阵或其变换形式，满足LU=X。
[L,U,P] = lu(X)   %U为上三角阵，L为下三角阵，P为单位矩阵的行变换矩阵，满足LU=PX。
1.3.3  QR分解
将矩阵A分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积。
函数  qr
格式  [Q,R] = qr(A)     %求得正交矩阵Q和上三角阵R，Q和R满足A=QR。
[Q,R,E] = qr(A)   %求得正交矩阵Q和上三角阵R，E为单位矩阵的变换形式，R的对角线元素按大小降序排列，满足AE=QR。
[Q,R] = qr(A,0)    %产生矩阵A的“经济大小”分解
[Q,R,E] = qr(A,0)  %E的作用是使得R的对角线元素降序，且Q*R=A(:, E)。
R = qr(A)         %稀疏矩阵A的分解，只产生一个上三角阵R，满足R'*R = A'*A，这种方法计算A'*A时减少了内在数字信息的损耗。
[C,R] = qr(A,b)    %用于稀疏最小二乘问题：minimize||Ax-b||的两步解：[C,R] = qr(A,b)，x = R\c。
R = qr(A,0)       %针对稀疏矩阵A的经济型分解
[C,R] = qr(A,b,0)   %针对稀疏最小二乘问题的经济型分解
函数  qrdelete
格式  [Q,R] = qrdelete(Q,R,j)   %返回将矩阵A的第j列移去后的新矩阵的qr分解
函数  qrinsert
格式  [Q,R] = qrinsert(Q,R,j,x)   %在矩阵A中第j列插入向量x后的新矩阵进行qr分解。若j大于A的列数，表示在A的最后插入列x。
    
1.3.6  特征值分解