命题逻辑基础：从简单命题到复合命题

"Ch1.pdf" 这篇文档是关于离散数学中的命题逻辑部分，主要由刘爱民编著。离散数学是计算机科学和数学的一个重要分支，它探讨的是离散而非连续的对象，如整数、图和逻辑表达式。在这一章中，作者着重讲解了命题逻辑的基本概念，包括命题、逻辑联结词、复合命题以及真值表。 首先，命题是逻辑推理的基础，是能够被判断为真或假的陈述。例如，“地球是圆的”是一个命题，因为它要么是真的，要么是假的。而像“你知道命题逻辑吗？”这样的疑问句则不是命题，因为它不是一个可以被确定为真或假的陈述。命题可以分为简单命题和复合命题。简单命题通常用p、q、r等字母表示，而复合命题是由简单命题通过逻辑联结词组合而成的。 逻辑联结词是用来连接命题以形成复合命题的符号，比如否定、合取（与）、析取（或）和蕴含。否定联结词“¬”用于表示命题的否定，例如，如果命题p是“今天天气好”，那么¬p就是“今天天气不好”。真值表显示了当一个命题p为真或假时，其否定¬p的对应真值。 合取联结词“∧”表示“和”或“并且”，例如，p∧q意味着“p和q都为真”。如果p和q都是真，则p∧q为真；否则为假。析取联结词“∨”表示“或”，表示至少有一个命题为真，p∨q意味着“p为真或者q为真”。蕴含联结词“→”表示“如果…那么…”的关系，如果p为真而q为假，则p→q为假，其他情况为真。此外，还有一种双条件联结词“↔”，表示“如果且仅如果”，表示p和q同时为真或同时为假。 复合命题的构造可以通过这些逻辑联结词将多个简单命题组合起来，形成更复杂的表达式。例如，“如果今天下雨，那么我带伞”可以表示为p→q，其中p代表“今天下雨”，q代表“我带伞”。 此外，文档还提到了命题符号化和翻译，这是一个将自然语言的命题转化为形式逻辑的过程。合式公式是按照特定规则构建的命题表达式，它们可以被分类为重言式（无论简单命题取何值，其总是真的）、矛盾式（总是假的）和其他类型。 最后，真值表是确定复合命题真值的有效工具。通过列出所有简单命题的所有可能真值组合，并计算出相应的复合命题的真值，我们可以判断该复合命题的类型。例如，对于含有两个简单命题的复合命题，真值表会有2的n次方行，每行对应一种简单命题的真值组合。 这一章深入介绍了命题逻辑的基本概念，包括命题的定义、分类，逻辑联结词的使用，以及如何构造和分析复合命题的真值表。这些都是理解和应用逻辑推理的关键，对于学习计算机科学和数学的学生来说是必不可少的基础知识。