离散数学复习指导Ⅲ
代数结构部分
一 学习要求
1．理解二元运算的含义及代数系统中的运算的性质及特殊元（单位元、零无、逆元）
的定义；
2．了解代数系统的同态与同构的定义；知道满同态下的保持性;
3. 记住半群的定义,掌握特殊半群（独异点、循环半群、可交换半群等）的证明方法。
4. 记住群的定义,了解群的性质，掌握群的证明方法（从定义出发）。
;
二 范例
例 1. Z 为整数集，S={x| },在 S 上定 义二元 运算*:
x*y=min{x,y},证明<S，*>是单元可交换半群。
证：⑴ 对任意 x,y , x*y=min{x,y} ,
∴*是二元运算，<S，*>是代数系统；
⑵ 对任意 x,y,z
∵(x*y)*z=(min{x,y})*z=min{x,y,z}
x*(y*z)= z * (min{x,y}) =min{x,y,z}
∴*运算满足结合律，<S，*>是半群；
⑶ 对任意 x ，
∵x*10=10*x=x
∴10 是单位元，<S，*>是单元半群；
x⑷ *y=min{x,y}= min{y,x}=y*x, ∴*运算满足交换律；
故<S，*>是单元可交换半群。
例 2．（10 分） Z
n
={0,1,2,…,n-1 },在 Z
n
上定义二元运算·:
x·y=(x+y) mod n, 其中+、-是普通加法、减法，证明<Z
n
，· >是循
环群。
证(1)对任意 x,y∈Z
n
, 因
x·y=(x+y) mod n∈Z
n
所以·是二元运算, <Z
n
，·>是代数系统;（2 分）
(2) 对任意 x,y,z∈Z
n
,因
(x·y) ·z=((x+y) mod n) ·z=(x+y+z) mod n
x·(y·z)=x·((y+z) mod n)=(x+y+z) mod n
有(x·y) ·z= x·(y·z)
所以·满足结合律, <Z
n
，·>是半群; （2 分）
(3) 对任意 x, 因
0·x=x·0=x
所以,0 是单位元; （2 分）
(4) ,
对任意 x∈Z
n
且 时,
x·(n-x)=(n-x) ·x=0
所以
chen85584563
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