§7 曲线拟合的最小二乘法
7-1 一般的最小二乘逼近(曲线拟合的最小二乘法)
最小二乘法的一般提法是:对给定的一组数据
(, )( 0,1, ,)
ii
x
yi m
=
L ,要求在函数类
01
{,, , }
n
ϕ
ϕϕ ϕ
= L 中找一个函数
*
()ySx= ,使误差平方和
2
2* 2 2
2
()
00 1
[() ] min [() ]
mm m
iii ii
Sx
ii i
Sx y Sx y
ϕ
δδ
∈
== =
== −= −
∑∑ ∑
其中
00 11
() () () () ( )
nn
Sx a x a x a x n m
ϕϕ ϕ
=+++ <L
带权的最小二乘法：
2
2
2
0
()[() ()]
m
ii i
i
x
Sx f x
δω
=
=−
∑
其中
() 0x
ω
≥ 是［a,b］上的权函数。
用最小二乘法求曲线拟合的问题，就是在
()Sx中求一函数
*
()ySx= ，使
2
2
δ
取的最
小。它转化为求多元函数
2
01
00
( ,, , ) ()[ () ()]
mn
nijjii
ij
I
aa a x a x fx
ωϕ
==
=−
∑∑
L
的极小点
** *
01
(,, , )
n
aa aL 问题。由求多元函数极值的必要条件，有
00
2()[ ()()]()0
mn
ijjiiki
ij
k
I
xaxfxx
a
ωϕ ϕ
==
∂
=−=
∂
∑∑
),,1,0( nk L
=
若记
0
(, ) ()()()
m
jk i jiki
i
x
xx
ϕϕ ω ϕ ϕ
=
=
∑
0
(, ) ()() ()
m
kiikik
i
f
xfx x d
ϕω ϕ
=
=
≡
∑
),,1,0( nk L
=
则上式可改写为
0
(,)
n
kjj k
j
ad
ϕϕ
=
=
∑
),,1,0( nk L
=
这个方程称为法方程，矩阵形式
.Ga d
=
其中
01 01
(,, , ), (,, , )
TT
nn
aaa a ddd d==LL，
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