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首页信号与系统公式大总结(表格整理+数学证明).pdf
信号与系统公式总结,文件分为两部分,前半部分49页,利用表格对信号系统的所有常见不常见公式名字、符号、性质、响应特性、连续离散、易错易混知识点对比等做了展现。后半部分41页,对卷积、响应激励、傅里叶变换、拉普拉斯、Z变换公式做了详细的数学推导。 整个文档高清无水印,所有公式均采用mathtype编写,可直接打印。 特别适用于信号系统专业考研时,知识点总结整理之用。
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第一章 绪论
i
连续时间信号
离散时间信号
时间区间
( , )TT
( , )
( , )NN
( , )
瞬时功率
2
()ft
能 量
2
()
T
T
E f t dt
2
2
lim ( ) ()
T
T
T
E f t dt f t dt
2
()
N
nN
E x n
2
()
n
E x n
平均功率
2
1
2
()
T
T
T
P f t dt
2
1
2
lim ( )
T
T
T
T
P f t dt
2
1
()
21
N
nN
P x n
N
2
1
()
21
lim
N
nN
N
P x n
N
周期信号
( ) ( )f t f t mT
0, 1, 2,m
( ) ( )x n x n mn
0, 1, 2,m
0 0 0
()j T j t T
ee
0
0
2
T
线 性
1 1 2 2
1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
f t y t
af t ay t
f t y t f t y t
f t f t y t y t
若
齐次性
则
若 ,
可加性
则
分解性
线性系统 零状态线性
零输入线性
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
xf
n
y t y t y t
y n y n y n
判断方法:先线性运算,后经系统的结果=先经系统,后线性运算的结果
时不变性
若
( ) ( )
f
f t y t
,则
00
( ) ( )
f
f t t y t t
若
( ) ( )x n y n
,则
00
( ) ( )x n n y n n
系统时不变性:1 电路分析:元件的参数值是否随时间而变化 2 方程分析:系数是否随时间而变
3 输入输出分析:输入激励信号有时移,输出响应信号也同样有时移。
第二、三章.连续时间信号、离散时间信号与系统时域分析
一.普通信号
普通信号
()
st
f t Ke
( , )
,
sj
直流信号
0, 0
()f t K
t
实指数信号
0, 0
()
t
f t Ke
t
时间常数:
1
虚指数信号
0
0, 0
0
00
cos sin()
jt
K t jK tf t Ke
正弦信号
()
j
f t Ke
00
0
Im [ ] Im[ ] sin( )
j t j j t
tKe Ke e K
复指数信号
0
0, 0
00
cos sin()
tt
Ke t jKe tft
t
功率信号:
0 PE 且
Z
时域分析
频域
输入输出系统模型
系统模型
变换域分析 复频域
域
状态变量系统模型
能量信号:
0 EP 且
二、冲激信号
冲激信号
()At
( ) 0 0
( ) 0
()
A t t
A t t
A t dt A
一般定义
泛函定义
: ( ) ( ) (0)A t t dt A
()At
是偶函数
筛选特性
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )f t t t f t t t
特别:
0
( ) ( ) ( ) ( )f t t f t t
取样特性
00
( ) ( ) ( )f t t t dt f t
特别:
( ) ( ) (0)f t t dt f
展缩特性
1
( ) ( )
b
aa
at b t
证明:1.
0a
2.
0a
3.
1
( ) ( ) ( ) ( )
a
ab
g t at b dt g t t dt
阶跃信号
()Au t
0
00
()
At
t
Au t
定义:
0t
处可以定义为
,1
1
0,
2
(个别点数值差别不会导致能量的改变)
性 质
1.
( ) ( )
t
A d Au t
2.
[ ( )]() Au t
d
A
dt
斜坡信号
()Ar t
0
()
00
At t
Ar t
t
性 质
1.
() ()
t
Au t dt Art
2.
[]( ) ( )A
d
Au t r t
dt
高阶冲激信号
()
()
n
t
()
0
( ) ( ) ( 1) [ ( )]:
n
nn
n
t
d
f t t dt f t
dt
泛函定义
冲激偶信号
'
()t
''
0
( ) ( ) [ ( )] (0):
t
d
f t t dt f t f
dt
泛函定义
说明:1.
'
()t
量纲是
2
s
2.强度
A
的单位是
2
Vs
3.
'
()t
是奇函数
筛选特性
' ' '
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )t t t t t tf t f t f t
0t 时
' ' '
( ) 0 ( ) ( )( ) ( ) (0)t t tf t f f
证明:对
0 0 0
( ) ( )( ) ( )t t t tf t f t
两端微分
取样特性
''
00
( ) ( ) ()f t t t dt ft
证明:关键利用筛选特性展开
展缩特性
''
2
''
2
1
( ) ( ) 0
1
( ) ( ) 0
b
at b t a
aa
b
at b t a
aa
特别:
''
1, 0 ( ) ( )a b t t
时
'
()t
是奇函数
三.卷积
连续时间信号
离散时间信号
卷积定义
12
12
( ) ( )( ) ( ) f f t df t f t
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
k
x n x n x k x n k
交 换 率
1 2 2 1
( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t
1 2 2 1
( ) ( ) ( ) ( )x n x n x n x n
分 配 率
1 2 3 1 2 1 3
( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t f t f t f t
1 2 3 1 2 1 3
( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )x n x n x n x n x n x n x n
结 合 率
1 2 3 1 2 3
[ ( ) ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )]f t f t f t f t f t f t
1 2 3 1 2 3
[ ( ) ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )]x n x n x n x n x n x n
奇异信号卷积特性
单位样值信号卷积特性
单位元特性
( ) ( ) ( )f t t f t
( ) ( ) ( )x n n x n
延时特性
00
( ) ( ) ( )f t t t f t t
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tf t t g t t f t g t t t
( ) ( 1) ( 1)x n n x n
( ) ( ) ( )x n n k x n k
积分特性
()( ) ( )
t
fdu t f t
1
()
( ) ( )
( 1)!
( ) ( )
n
tt
n
t
f t dt dt f t
n
u t f t
( ) ( ) ( )
k
x k x n u n
冲激偶卷积
''
( ) ( ) ( )t f t f t
( ) ( )
( ) ( ) ( )
nn
t f t f t
四.电路元件的运算模型
元件
名称
电路符号
时 域
电路符号
频 域
电路符号
复 域
ui
关系
运算模型
运算模型
运算模型
电
阻
( ) ( )u t Ri t
()
()
ut
R
it
()
()
R
R
Ut
R
It
()
()
R
R
Us
Is
R
电
容
1
( ) ( )
t
u t i t dt
C
( ) 1
()
ut
i t pC
()
1
()
C
C
Ut
I t j C
11
(0 )( ) ( )
C
CC
u
Cs s
U s I s
(0 )( ) ( )
C
CC
uI s CsU s C
电
感
( ) ( )
d
u t L i t
dt
()
()
ut
pL
it
()
()
C
C
Ut
It
jL
(0 )( ) ( )
L
LL
iU s LsI s L
11
(0 )( ) ( )
L
LL
i
Ls s
I s U s
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