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偏微分方程简明教程（ZJU）.pdf

微分

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偏微分方程简明教程（ZJU）PDF文档，浙江大学。主要内容：一、一阶方程二、二阶方程 ² 椭圆型方程（典型的例子：Laplace方程） ² 抛物型方程（典型的例子：热传导方程；Li-Yau's Harnack inequality） ² 双曲型方程（典型的例子：波动方程）三、特征流形的Cauchy问题：Cauchy-Kowalevski定理四、无解的线性方程|H. Lewy例子。

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偏微分方程

浙江大学

2008.9 - 2008.12

主要内容：

一、一阶方程

二、二阶方程

• 椭圆型方程（典型的例子：Laplace方程）

• 抛物型方程（典型的例子：热传导方程；Li-Yau’s Harnack inequality）

• 双曲型方程（典型的例子：波动方程）

三、特征流形的Cauchy问题：Cauchy-Kowalevski定理

四、无解的线性方程—H. Lewy例子。

习题：

• 必做；

• 思考题；

• Open problems。

参考书：

• F. John, Partial Diﬀerential Equations, Springer-Verlag, 1982.

• 谷超豪，李大潜等人，《数学物理方程》，高教出版社，2002年。

• 姜礼尚，孔德兴等人，《应用偏微分方程》，高教出版社，2008年。

绪言

§ 1. 基本概念

• 偏微分方程（PDE）

关于函数u(x, y, · · · )的PDE是形如

F (x, y, · · · , u, u

, u

, · · · , u

, u

, · · · ) = 0 (1)

的关系式，其中F 是自变量x, y, · · · ,未知函数u以及u的

有

:::

限多个偏导数的已知函数。

• 解(solution)：

称u是(1)的

:::

解，如果把u(x, y, · · · )及其相应的偏导数代入(1)式后，在x, y, · · · 空间的

某个区域Ω中(1)式关于这些变量恒等地成立。

♣

除非有相反的说明，在本课程中我们总是要求

x, y, · · ·

是实的，

以及在方程

(1)

中

出现的

的偏导数在实空间的区域

Ω

中都是关于

x, y, · · ·

的连续函数。为了简单起见，我

们有时也常常省略区域

Ω

的明确描述，而把所述的命题也“局部地”适用于

x, y, · · ·

空

间中一点的某一适当领域。

• 偏微分方程组(PDEs):

涉及一个或几个未知函数及其偏导数的多个偏微分方程组成一个方程组。

记n为未知函数的个数，m为PDE的个数

当n > m时，此时方程组称为欠定的(under-determined)；

当n < m时，此时方程组称为超定的(over-determined)。

• PDE或PDEs的阶数：

是指其中出现的最高阶导数的阶数。

• PDE或PDEs的维数：

是指自变量x, y, · · · 的个数。

• 线性，拟线性，完全非线性：

::::::::

PDE称

为

:::

线

:::

性

的，如果它关于未知函数u及其所有的偏导数是线性的，并且其系数

仅依赖于自变量x, y, · · · ；

:::::::::::::

m阶PDE称

:::

为

:::

拟

:::

线

:::

性

:::

的，如果它关于未知函数u的m阶偏导数是线性的，并且

其m阶偏导数的系数仅依赖于x, y, · · · 以及未知函数u的阶数低于m的偏导数；

:::::::::::::

m阶PDE称

为

:::

完

:::

全

非

:::

线

性

:::

的，如果它关于未知函数u的m阶偏导数是非线性的。

♣ 线性，拟线性，完全非线性之间的关系见下图：

P DE











线性 (l inear)

非线性 (nonl inear)







拟线性 (quasilinear)

完全非线性 (fully nonlinear)

♣

线性

例如弦的小振幅振动等；

非线性

例如湍流等。

§ 2. 例子

PDEs出现在数学、物理学以及工程技术中的各个分支。在许多场合，有一个自变量

代表时间，通常用t表示，而其余的自变量记为(x

, x

, · · · , x

)（特别地，当n = 3时，

则记为x, y, z），表示n维空间中的位置。

引入几个特殊记号

∆ ,

∂

∂x

+ · · · +

∂

∂x

i=1

∂

∂x

（Laplace 算子）,

¤ ,

∂

∂t

−

∂

∂x

− · · · −

∂

∂x

∂

∂t

−

i=1

∂

∂x

∂

∂t

− ∆ （波算子）。

例1. Laplace方程

∆u ,

∂

∂x

+ · · · +

∂

∂x

i=1

∂

∂x

= 0. (2)

它的解u称为

势

:::

函

数或

:::

调

和

:::

函

:::

数 (harmonic function)。

♣ 特别地，当n = 2时，记x

= x, x

= y，可以证明存在一个“共轭”调和函

数v(x, y)使得u和v一起满足下述Cauchy-Riemann一阶方程组

= v

, u

= −v

(3)

(3)式的一对实解(u, v)组成复变元z = x + iy的解析函数

f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). (4)

♣ 也可以把(u(x, y), −v(x, y))看成无旋不可压缩流体的速度场。

♣ 不可压缩无旋流的速度势、重力场、电场以及处于热平衡状态的温度分布场均满

足n = 3时的方程(2)。

例2. 波动方程（wave equation）

= c

∆u (c > 0常数), (5)

其中u = u(t, x

, · · · , x

)。

♣ n = 1 : 弦的振动，波在管中的传播波，c表示传播速度。

n = 2 : 浅水面上的水波。

n = 3 : 声波或光波。

例3. Maxwell 方程（Maxwell equations）

在真空中且无自由电荷和电流的情况下，关于电场强度向量E = E(E

, E

)及磁

场强度向量H = (H

, H

)的Maxwell方

程

实质上是由六个一阶方程所组成的线性方

程组











εE

= curlH,

µH

= −curlE,

divE = divH = 0,

(6)

其中ε, µ 是描述电磁介质的常数，分别称为真空介电常数和导磁系数。特别地，作为关

系式

εE

= curlH, µH

= −curlE

的推论，如果t = 0时，关系式

divE = divH = 0

成立，则上式对所有的t均成立。不难验证，这里的每个分量E

, H

均满足具有c

1/εµ的波动方程(5)。事实上，在方程组中消去磁场强度便得到电场强度的偏微分方

程：这只需对(6)式中的第二式求旋度，再用其第四式可得

curl(curlE) = −µ(curlH)

= −εµE

又因为

curl(curlE) = ∇(divE) − ∆E,

再利用(6)式中的第三式得到

= (εµ)

−1

∆E.

类似地，我们可以得到磁场强度向量H所满足的偏微分方程。

例4. 在经典弹性理论中，弹

性

波

可由线性方程组

∂

∂t

= µ∆u

+ (λ + µ)

∂

∂x

(divu) (i = 1, 2, 3) (7)

描述，其中u

(t, x

, x

)是位移向量u的分量，ρ是密度，而λ, µ是弹性材料的Lame常

数。可以证明，每一个分量u

都满足由两个不同的波动算子所组成的四阶方程

∂

∂t

−

λ + 2µ

∆

¶µ

∂

∂t

−

∆

= 0. (8)

当弹

性

平衡（即u

= 0）时，我们便得到重

调

和

方

程

∆

u = 0. (9)

例5. 当密度和比热都是常数时，导热体中的温度分布满足热

传

导

方

程

= k∆u, (10)

其中k > 0是常数，表示介质的热传导系数。

例6. 在势能为V (x, y, z)的场中，运动的质量为m的单个质点所满足的Schr¨odinger方

程是

i~ψ

= −

∆(ψ) + V ψ, (11)

其中h = 2π~ 是Planck常数。

例7. Tricomi方程

= xu

. (12)

另一类重要的方程是

= yu

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