习题一
1．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域的线性空间：
（1）设 是 阶实数矩阵. 的实系数多项式 的全体，对于矩阵的加
法和数乘；
（2）平面上不平行于某一向量所组成的集合，对于向量的加法和数与向量的
乘法；
（3）全体实数的二元数列，对于如下定义的加法 和数乘 运算：
（4）设 是一切正实数集合，定义如下加法和数乘运算：
其中 ；
（5）二阶常系数非齐次线性微分方程的解的集合，对于通常函数的加法和数
乘；
（6）设 ，
中元素对于通常的加法与数乘，并证明： 是 的一个基，
试确定 的方法.
解 （1）是.
令 .由矩阵的加法和数
乘运算知,
其中 为实数， 是实系数多项式. 中含有 的零多项式，
为 的零元素. 有负元 .由于矩阵加法与数乘运算满足其它
各条，故 关于矩阵加法与数乘运算构成实数域上的线性空间.
（2）否.例如以那个已知向量为对角线的任意平行四边形的两个邻边向量，
它们的和不属于这个集合，因此此集合对向量的加法不封闭.
（3）是. 封闭性显然成立.下面证明此集合满足线性空间的八个要求.
任取该集合中的三个元素，设为 ,以及任意
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