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首页运筹学-排队论 queueing theroy
In general we do not like to wait. But reduction of the waiting time usually requires extra investments. To decide whether or not to invest, it is important to know the effect of the investment on the waiting time. So we need models and techniques to analyse
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Queueing Theory
Ivo Adan and Jacques Resing
Department of Mathematics and Computing Science
Eindhoven University of Technology
P.O. Box 513, 5600 MB Eindhoven, The Netherlands
February 28, 2002
Contents
1 Introduction 7
1.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Basic concepts from probability theory 11
2.1 Random variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Laplace-Stieltjes transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Useful probability distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.1 Geometric distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.2 Poisson distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.3 Exponential distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.4 Erlang distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.5 Hyperexponential distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.6 Phase-type distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Fitting distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Poisson process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Queueing models and some fundamental relations 23
3.1 Queueing models and Kendall’s notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Occupation rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Performance measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Little’s law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5 PASTA property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 M/M/1 queue 29
4.1 Time-dependent behaviour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Limiting behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.1 Direct approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.2 Recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.3 Generating function approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2.4 Global balance principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3
4.3 Mean performance measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4 Distribution of the sojourn time and the waiting time . . . . . . . . . . . . 33
4.5 Priorities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5.1 Preemptive-resume priority . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.5.2 Non-preemptive priority . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.6 Busy period . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.6.1 Mean busy period . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.6.2 Distribution of the busy period . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.7 Java applet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 M/M/c queue 43
5.1 Equilibrium probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 Mean queue length and mean waiting time . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3 Distribution of the waiting time and the sojourn time . . . . . . . . . . . . 46
5.4 Java applet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6 M/E
r
/1 queue 49
6.1 Two alternative state descriptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2 Equilibrium distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.3 Mean waiting time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.4 Distribution of the waiting time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.5 Java applet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7 M/G/1 queue 59
7.1 Which limiting distribution? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.2 Departure distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.3 Distribution of the sojourn time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.4 Distribution of the waiting time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.5 Lindley’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.6 Mean value approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.7 Residual service time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.8 Variance of the waiting time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.9 Distribution of the busy period . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.10 Java applet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8 G/M/1 queue 79
8.1 Arrival distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.2 Distribution of the sojourn time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.3 Mean sojourn time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4
8.4 Java applet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9 Priorities 87
9.1 Non-preemptive priority . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.2 Preemptive-resume priority . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.3 Shortest processing time first . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.4 A conservation law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
10 Variations of the M/G/1 model 97
10.1 Machine with setup times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
10.1.1 Exponential processing and setup times . . . . . . . . . . . . . . . . 97
10.1.2 General processing and setup times . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
10.1.3 Threshold setup policy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10.2 Unreliable machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
10.2.1 Exponential processing and down times . . . . . . . . . . . . . . . . 100
10.2.2 General processing and down times . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
10.3 M/G/1 queue with an exceptional first customer in a busy period . . . . . 103
10.4 M/G/1 queue with group arrivals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
10.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
11 Insensitive systems 111
11.1 M/G/∞ queue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
11.2 M/G/c/c queue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
11.3 Stable recursion for B(c, ρ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
11.4 Java applet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
11.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Bibliography 119
Index 121
Solutions to Exercises 123
5
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