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matlab数据分析

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第四讲数据分析方法

第一节、数据拟合

问题：给定一批数据点（输入变量与输出变量的数据），需确定满足特定要求的曲线或

曲面。如果输入变量和输出变量都只有一个，则属于一元函数的拟合和插值；而若输入变量

有多个，则为多元函数的拟合和插值（有点回归分析的意思）

解决方案：

（1）若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题；

（2）若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，这就

是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。

注意：插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，

二者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题，究竟应该用插值还是拟合，有时

容易确定，有时则并不明显。

例 1：下面数据是某次实验所得，希望得到 X 和 f之间的关系？

x 1 2 4 7 9 12 13 15 17

f 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1

曲线拟合问题最常用的解法——最小二乘法的基本思路

第一步：确定拟合的函数类型

),,,;(

21 m

aaaxfy "

，其中为待定系数。

（函数类型的确定可以根据内在的规律确定，如果无现成的规则，则可以通过散点图，联系

曲线的形状进行分析）

aaa ,,,

第二步：确定的最小二乘准则：要求个已知点与曲线

的距离的平方和最小。

aaa ,,,

),(

)(xfy =

∑

−

xfy

))((

用 MATLAB 作拟合

1．多项式拟合。作多项式拟合，可利用

axaxay +++=

−

a=polyfit(x,y,m)

—

其中 x,y 为给出的数据，m 为多项式的次数。

多项式在 x 处的值 y 可用以下命令计算：

y=polyval（a,x）

2．用 MATLAB 作非线性最小二乘拟合

Matlab 的提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数：lsqcurvefit 和 lsqnonlin。两个命令

都要先建立 M-文件 fun.m，在其中定义函数 f(x)。

（1）x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata);

（2）x =lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,options);

（3）x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,options,’grad’);

（4）[x, options] = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,…);

（5）[x, options,funval] = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,…);

（6）[x, options,funval, Jacob] = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,…);

（7）x=lsqnonlin（‘fun’，x0）；

（8）x= lsqnonlin （‘fun’，x0，options）；

（9）x= lsqnonlin （‘fun’，x0，options，‘grad’）；

（10）[x，options]= lsqnonlin （‘fun’，x0，…）；

（11）[x，options，funval]= lsqnonlin （‘fun’，x0，…）；

在使用 lsqcurvefit 与 lsqnonlin 命令时，共同的问题是要先知道函数的类型，而拟合其实是决

定函数中的待定系数。

第二节插值

插值的基本问题：给出个数对，(

, ( )), 1,2, ,

PfP i n

" ，求点处对应的函数值P

()

。

一、一维插值

已知个节点，求任意点处的函数值。常用的插值方法

有拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。

1+n

niyx

,,1,0),,( "=

9 分段线性插值：将各数据点用折线连接起来

9 多项式插值：求一个多项式通过所有数据点，可以假设出多项式的系数，最后通过

求解方程得到每个系数（拉格朗日插值，用次多项式描述

n 1

个点）

9 样条插值：分段多项式的光滑连接（三次样条插值）

9 牛顿插值：利用节点之间的各阶差商和差分构造多项式

9 Hermite 插值：对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有

相同的一阶、二阶甚至更高阶的导数值

（1）MATLAB 命令：y=interp1(x0,y0,x,'method')

method 指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为：

'nearest' 最近项插值

'linear' 线性插值

'spline' 立方样条插值

'cubic' 立方插值。

所有的插值方法要求 x0 是单调的。

当 x0 为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、'*spline'、

'*cubic'。

（2）三次样条插值在 Matlab 中的实现

在 Matlab 中数据点称之为断点。如果三次样条插值没有边界条件，最常用的方法，就

是采用非扭结（not-a-knot）条件。这个条件强迫第 1 个和第 2 个三次多项式的三阶导数相

等。对最后一个和倒数第 2 个三次多项式也做同样地处理。

Matlab 中三次样条插值也有现成的函数：

y=interp1(x0,y0,x,'spline')；

y=spline(x0,y0,x)；

pp=csape(x0,y0,conds),

pp=csape(x0,y0,conds,valconds)，y=ppval(pp,x)。

其中 x0,y0 是已知数据点，x 是插值点，y 是插值点的函数值。

对于三次样条插值，我们提倡使用函数 csape，csape 的返回值是 pp 形式，要求插值点

的函数值，必须调用函数 ppval。

pp=csape(x0,y0)：使用默认的边界条件，即 Lagrange 边界条件。

pp=csape(x0,y0,conds,valconds)中的 conds 指定插值的边界条件，其值可为：

'complete' 边界为一阶导数，一阶导数的值在 valconds 参数中给出，若忽略 valconds

参数，则按缺省情况处理。

'not-a-knot' 非扭结条件

'periodic' 周期条件

'second' 边界为二阶导数，二阶导数的值在 valconds 参数中给出，若忽略 valconds

参数，二阶导数的缺省值为[0, 0]。

'variational' 设置边界的二阶导数值为[0,0]。

对于一些特殊的边界条件，可以通过 conds 的一个

矩阵来表示，conds 元素的取值

为 0，1，2。

conds(i)=j 的含义是给定端点的

阶导数，即 conds 的第一个元素表示左边界的条件，

第二个元素表示右边界的条件，conds=[2,1]表示左边界是二阶导数，右边界是一阶导数，对

应的值由 valconds 给出。

例 2 机床加工

待加工零件的外形根据工艺要求由一组数据给出（在平面情况下），用程控铣床

加工时每一刀只能沿

),( yx

方向和方向走非常小的一步，这就需要从已知数据得到加工所要求

的步长很小的坐标。

),( yx

表中给出的

数据位于机翼断面的下轮廓线上，假设需要得到

坐标每改变 0.1 时的

坐标。试完成加工所需数据，画出曲线，并求出

处的曲线斜率和范围

内的最小值。

1513 ≤≤ x

0 3 5 7 9 11 12 13 14 15

0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6

要求用分段线性和三次样条计算。

解编写以下程序：

x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15];

y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];

x=0:0.1:15;

y2=interp1(x0,y0,x);

y3=interp1(x0,y0,x,'spline');

pp1=csape(x0,y0);

y4=ppval(pp1,x);

pp2=csape(x0,y0,'second');

y5=ppval(pp2,x);

[x',y1',y2',y3',y4',y5']

subplot(2,2,1)

plot(x0,y0,'+',x,y2)

title('Piecewise linear')

subplot(2,2,2)

plot(x0,y0,'+',x,y3)

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lixudem

2020-11-16

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划水小哥

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