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二分图匹配,匈牙利算法和KM算法简介 二分图匹配,匈牙利算法和KM算法简介 二分图匹配,匈牙利算法和KM算法简介 二分图匹配,匈牙利算法和KM算法简介 二分图匹配,匈牙利算法和KM算法简介 用增广路求最大匹配(称作匈牙利算法,匈牙利数学家Edmonds于1965年提出) 算法轮廓: (1)置M为空 (2)找出一条增广路径P,通过取反操作获得更大的匹配M’代替M (3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止
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二分图匹配
匈牙利算法和 KM 算法简介

二分图的概念
二分图又称作二部图,是图论中的一种特殊
模型。
设 G=(V,{R}) 是一个无向图。如顶点集 V 可
分割为两个互不相交的子集,并且图中每条
边依附的两个顶点都分属两个不同的子集。
则称图 G 为二分图。
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最大匹配
给定一个二分图 G ,在 G 的一个子图 M 中,
M 的边集 {E} 中的任意两条边都不依附于同一
个顶点,则称 M 是一个匹配。
选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹
配问题 (maximal matching problem)
如果一个匹配中,图中的每个顶点都和图中
某条边相关联,则称此匹配为完全匹配,也
称作完备匹配。

匈牙利算法
求最大匹配的一种显而易见的算法是:先找出全部
匹配,然后保留匹配数最多的。但是这个算法的复
杂度为边数的指数级函数。因此,需要寻求一种更
加高效的算法。
增广路的定义 ( 也称增广轨或交错轨 ) :
若 P 是图 G 中一条连通两个未匹配顶点的路径,并
且属 M 的边和不属 M 的边 ( 即已匹配和待匹配的
边 ) 在 P 上交替出现,则称 P 为相对于 M 的一条增
广路径。

匈牙利算法
由增广路的定义可以推出下述三个结论:
1 - P 的路径长度必定为奇数,第一条边和
最后一条边都不属于 M 。
2 - P 经过取反操作可以得到一个更大的匹
配 M’ 。
3 - M 为 G 的最大匹配当且仅当不存在相对
于 M 的增广路径。
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