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线性方程组的迭代方法：Jacobi, Gauss-Seidel, SOR

迭代方法

Jacobi迭代方法

Gauss-Seidel

迭代方法

SOR迭代方法

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介绍线性方程组数值求解迭代方法的课件。通俗易懂，通过本课件，菜鸟变专家。

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线性方程组的解法---- Exact Method

Exact Method

LU 分解法：设线性方程组系统

如果将矩阵

分解成两个三角矩阵

()

和

如果将矩阵

分解成两个三角矩阵

(

ower

)

和

(pper) ：

线性方程组的解法---- Exact Method

Exact Method

那么

分解成两组简单的线性方程组系统

：

和

因为矩阵 L (ower) 和 U (pper) 都是三角矩阵，上述

两个线性方程组很容易求解：

线性方程组的解法---- Exact Method

Exact Method

线性方程组的解法---- Exact Method

Exact Method

矩阵的 LU 分解：将

写成

这里共有个方程，个未知量，可任指定

个未知量的值

我们选择

：

个未知量的值

。

我们选择

：

线性方程组的解法---- Exact Method

Exact Method

此外，由于 L、U 矩阵的三角形结构，我们有：

Crout’s procedure：

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angelrgm

2015-06-25

挺全面的。。

在matlab用差分格式求解椭圆型方程：-Δu+u^3=8pi^2sin(2pix)sin(2piy)+(sin(2pix)sin(2piy))^3，其中u在xoy平面上的闭区域G的偏导等于0

这是一个比较复杂的问题，需要进行数值求解。可以采用有限差分法，将椭圆型方程离散化为线性方程组，再使用迭代法求解。以下是大致的步骤： 1. 将区域G离散化为网格，采用中心差分格式求解二阶导数，得到系数矩阵A。 2. 将非线性项u^3在网格点处展开为泰勒级数，将其离散化为线性方程组，得到系数矩阵B。 3. 将右侧项离散化为向量b。 4. 将边界条件离散化为线性方程组，得到系数矩阵C和向量d。

matlab一维隐式差分

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线性方程组的迭代方法：Jacobi, Gauss-Seidel, SOR

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请举出一个具体的线性方程组进行求解，并对解线性方程组直接法与迭代法的比较分析，给出python代码，并对其分别进行误差分析

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