课件 30：关于函数项级数有 sinnx,cosnx 一致收敛性问题总结
k 1
k 1
k 1 k 1
在课件22数项级数中我们研究过涉及到正余弦级数的问题，
现在我们再复习巩固一下
1
sin( ) sin
1
2 2
（1）：当x 2k 时，有 cos
2 sin sin
2 2
1
cos( ) cos
1
2 2
（2）：当x 2k 时，有 sin
2 sin sin
2 2
1
(3) : 当x 2k+1 时，有 1 cos cos
cos
2
(4) : 当x 2
n
n
n n
k
x
n x
kx
x x
x
n x
kx
x x
kx k x
x
k 1 k 1
k 1
1
k+1 时，有 1 sin sin
cos
2
大家仔细会发现（3）和（4）是利用（1）和（2）的整体代换，
即将x+ 换成x即可，所以大家只要记住（1）和（2），这样考试的时候会节省
大量时间，不需要重新再去推了
下面我们再重点研究下（1），那么（2）大家就会得到同样的结论了
（1） cos 的部分和数列在 ，2 - 上一致有界，
在 ，2 - 上也一致有
n n
k
n
kx k x
x
kx
k 1
k 1
界，（0< < ）
也就是说只要区间里面不含有2k ,k=0,1,2, ,区间端点不含有2k
都是一致有界的
下面我们证明一下 cos 的部分和数列在 ，2 - 上一致有界
1
sin( ) sin
1 1
2 2
cos
2 sin sin sin
2 2 2
， - ，虽然 sin 在 ， - 不是单调的
2 2 2 2 2 2
但是在此区间有最小值即当x=
n
n
kx
x
n x
kx
x x
x x
或者 - 时
2 2
（大家仔细思考思考）
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