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陈纪修数学分析上册知识点整理

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工科生自学的数学分析，目的只是开拓视野（我学的也不精），对里面的精华做了总结，没有非常完整的证明。适合期末复习！免费下载，以后学完别的还会上传。

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数学分析要点精简

ch1.集合

1.Descartes 乘积集合

A × B={(x , y)∨x∈ A∧x ∈ B }

例如：二维平面 Descartes 坐标系：

2.两个常用不等式

三角不等式：

−

≤∨a+b∨≤∨a∨ +¿b∨¿

算数平均不小于几何平均不小于调和平均：

+…+a

≥

√

… a

≥n /(

+…+

)

ch2.数列极限

1.上确界与下确界

上界全体组成的集合中最小数就是上确界，下界全体组成的集合中最小数就是下确界。

数集 S 的上确界记为

β =

,下确界记为

α=inf S

确界存在定理——实数系连续性定理：非空有上界数集必有上确界，非空有下界数集必有

下确界。（证明：逐个小数位数比较递归证明）

2.数列极限的 Stolz 定理：设

}

是单调增加的正无穷大量，且

lim

n → ∞

−x

n−1

− y

n−1

=a , a=有限量 , ∞

则

lim

n → ∞

证明：三角不等式拆分 p63-64

3.闭区间套定理

若

{

[

, b

}

形成一个闭区间套，则存在唯一的实数

属于所有的闭区间

, b

]

，且

ξ=lim

n → ∞

=lim

n → ∞

4.Bolzano-Weierstrass 定理

有界数列必有收敛子列

5.Cauchy 收敛原理

数列

}

收敛的充要条件是数列

}

是基本数列。

定义：基本数列：

∀ ε >0 , ∃ N , ∀ m, n>N :

¿ x

−x

∨¿ ε

则称

}

是基本数列。

ch3.函数极限与连续函数

1.函数极限的三个性质

①唯一性

②保序性

若

lim

x→ x

(

)

=A , lim

x → x

(

)

=B ,

且

A>B

，则

∃ δ>0 ,

当

x−x

<δ

时成立

(

)

>g(x )

推论 1. 若

lim

x→ x

(

)

=A , lim

x → x

(

)

=B ,

且

∃ ρ>0 ,

当

x−x

<ρ

时成立

(

)

≤ g( x)

,则

B ≤ A

推论 2.（局部有界性）若

lim

x→ x

(

)

=A ,

则

∃ δ>0

,使得

f (x)

在

(

, δ

)

¿x

}

中有界。

③夹逼性

2.Heine 定理（函数极限与数列极限的关系）

lim

x→ x

(

)

=A ↔任意满足lim

n → ∞

, x

≠ x

的数列

{

}

, 成立 lim

n →∞

(

)

= A

另一种表述：

lim

x→ x

(

)

=A 存在

↔ 任意满足 lim

n →∞

, x

≠ x

的数列

{

}

, 相应函数值序列

{

(

)

}

收敛

3.函数的 Cauchy 收敛原理

函数极限

lim

x→ ∞

f (x)

存在且有限的充要条件是：

∀ ε>0 , ∃ X >0 , ∀ x

, x

' '

> X :

(

)

−f

(

' '

)

<ε

4.一致连续

定义：设函数

f (x)

在区间

上定义，若：

∀ ε >0 , ∃ δ>0 , 若只要 x

, x

∈ X 满足

−x

' '

<δ 就成立

(

)

−f

(

' '

)

<ε

则称函数

f (x)

在区间

上一致连续。

(连续的普通定义中

的取值事实上与

是有关的，而一致连续就是在找对任意

都适用的

，来满足连续的不等式。因此一致连续一定连续，反之不成立)

定理：一致连续的充要条件是：对任何点列

{

}

, x

∈ X

和

{

' '

}

, x

' '

∈ X

, 只要满足

lim

n → ∞

(

−x

' '

)

= 0

,就成立

lim

n → ∞

(

)

−f

(

' '

)

Cantor 定理：若函数在闭区间上连续，则其必在该闭区间上一致连续。

ch4.微分

1.高阶导数运算法则之 Leibniz 公式：

[

(

)

g (x)

]

∑

k=0

(

n−k

)

(

)

(

)

( x)

证明：数学归纳法。

2.计算技巧：对数求导法

形如

y=f

(

)

(

)

(

)

的幂指函数，两边取对数

ln y=v

(

)

ln u(x)

两边对 x 求导

(

)

ln u(x )+v

(

)

(

)

(

)

ch5.微分中值定理

1.Fermat 引理

设

是

f (x)

的一个极值点，且

f (x)

在

处导数存在，则

(

)

2.Rolle 定理

设函数

f (x)

在闭区间[a,b]连续，在开区间(a,b)可微，且

(

)

=f (b)

，则至少存在一点

ξ ∈

(

a , b

)

, s .t .

(

)

例子：证明 Legendre 多项式恰有 n 个不同的实根（p167）

3.Lagrange 中值定理

设函数

f (x)

在闭区间[a,b]连续，在开区间(a,b)可微，则至少存在一点

ξ ∈

(

a , b

)

, s .t .

(

)

(

)

−f

(

)

b−a

可将

写为

ξ=a+θ

(

b−a

)

, θ ∈(0,1)

，则定理可写为

(

)

−f

(

)

=f '(a+θ

(

b−a

)

)(b−a)

或记

为

b−a

为

Δ x

,则

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