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计算方法复习总结内容,难点、重点等复习资料
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更新于2023-03-03
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计算方法复习资料--“计算方法”是研究数学问题的数值计算方法及其理论的课程。“计算方法”这个名称更完整的叫法应该是”数学数值计算方法”,但由于数学的一般性,通常就简称为“数值计算方法“或“数值方法”或”计算方法”。另外,“计算方法”课程与另一门称为“数值分析“的课程,可以说是大同小异。这类课程不论叫“计算方法”还是“数值分析”,其主要差异在于内容的多、少、深、浅,是突出方法,淡化理论,还是既突出方法,也强调理论,特别是课程的教学对象定位在哪个层次、哪些群体。
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计算方法与实习――地球物理系 raw.doc
绪论
(一)考核知识点
误差的来源类型;绝对误差和绝对误差限,相对误差和相对误差限,有效数字;绝对误差的传播。
(二)复习要求
1.知道产生误差的主要来源。
2.了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3.知道四则运算中的误差传播公式。
一、重点内容
一个物理量的真实值和我们算出的值往往不相等,其差称为误差。引起误差的原因是多方面的, 主要
有:模型误差,观测误差,截断误差,舍入误差。在计算方法中主要讨论的是截断误差和舍入误差。
误差:设精确值 x
*
的近似值为 x,差 e=x-x
*
称为近似值 x 的误差(绝对误差)。
误差限近似值 x 的误差限 e 是误差 e 的一个上界,即|e|=|x-x
*
|≤ε。
相对误差 e
r
是误差 e 与精确值 x
*
的比值, 。常用 计算。
相对误差限 是相对误差的最大限度, ,常用 计算相对误差限。
有效数字如果近似值 x 的误差限 ε 是它某一个数位的半个单位,我们就说 x 准确到该位。从这一位起
到前面第一个非 0 数字为止的所有数字称为 x 的有效数字。
二、难点内容
(1)设精确值 x
*
的近似值 x,x=±0.a
1
a
2
…a
n
×10
m
,a
1
,a
2
,…,a
n
是 0~9 之中的自然数,且
a
1
≠0,|x-x
*
|≤ε=0.5×10
m
-
l
,1≤l≤n
。
则 x 有 l 位有效数字。
(2)设近似值 x=±0.a
1
a
2
…a
n
×10
m
有 n 位有效数字,则其相对误差限
(3)设近似值 x=±0.a
1
a
2
…a
n
×10
m
的相对误差限不大于 则它至少有 n 位有效数字。
(4)要求精确到 10
-
3
,取该数的近似值应保留 4 位小数。
三、例题
例 1 设 x
*
=p=3.1415926…
近似值 x=3.14=0.314×10
1
,即 m=1,它的误差是 0.0015926…,有
,
即 n=3,故 x=3.14 有 3 为有效数字。x=3.14 准确到小数点后第
2 位。
近似值 x=3.1416,它的误差是 0.0000074…,有
,
即
m=1,n=5,x=3.1416 有 5 位有效数字。
近似值 x=3.1415,它的误差是 0.0000926…,有
即 m=1,n=4,x=3.1415 有 4 位有效数字。
这就是说某数有 s 位数,若末位数字是四舍五入得到的,那么该数有 s 位有效数字;若末位数字不是
四舍五入得到的,那么该数有 s 位或 s-1 位有效数字。
1
计算方法与实习――地球物理系 raw.doc
例 2 指出下列各数具有几位有效数字,及其绝对误差限和相对误差限:
2.0004 -0.00200 9000 9000.00
解 因 为 x
1
=2.0004 = 0.20004×10
1
, 它 的 误 差 限 0.00005=0.5×10
1―5
, 即 m=1,n=5, 故
x=2.0004 有 5 位有效数字.相对误差限
x
2
=-0.00200,误差限 0.000005,因为 m=-2,n=3
,
x
2
=-0.00200 有 3 位有效数字。
相对误差限 e
r
=0.00005/0.00200=0.25%。
x
3
=9000,绝对误差限为 0.5,因为 m=4,n=4,x
3
=9000 有 4 位有效数字,相对误差限
e
r
=0.5/9000=0.0056%
x
4
=9000.00,绝对误差限 0.005,因为 m=4,n=6,x
4
=9000.00 有 6 位有效数字,相对误差限
为 e
r
=0.005/9000.00=0.000056%
由 x
3
与 x
4
可以看到小数点之后的 0,不是可有可无的,它是有实际意义的。
例 3ln2=0.69314718…,精确到 10
-
3
的近似值是多少?
解 精 确 到 10
-
3
= 0.001 , 即 绝 对 误 差 限 是 e = 0.05, 故 至 少 要 保 留 小 数 点 后 三 位 才 可 以 。
Ln2»0.693。
例 4 如何去设计一个好的算法?
答:一个好的算法必须满足:1、计算步骤简化以减少运算次数及误差积累;2、避免两个相同号数数值
相近的数相减;3、计算若干同号数时的和,按绝对值增大的顺序相加;4、避免乘除法中数值绝对值过大或
过小;5、防止大数吃掉小数;6、选用数值稳定性好的算法。
四、练习题
1.设某数 x
*
,它的保留三位有效数字的近似值的绝对误差是___________________________。
2.设某数 x
*
,它的精确到 10
-
4
的近似值应取小数点后____位。
3.()的 3 位有效数字是 0.236×10
2
。
(A)235.54×10
-
1
(B)235.418(C)2354.82×10
-
2
(D)0.0023549×10
3
4.设 a
*
=2.718181828…,取 a=2.718,则有(),称 a 有四位有效数字。
(A)
(B)
(C)
(D)
5.设某数 x
*
,对其进行四舍五入的近似值是(),则它有 3 位有效数字,绝对误差限是 。
(A)0.315 (B)0.03150 (C)0.0315 (D)0.00315
6.以下近似值中,保留四位有效数字,相对误差限为 。
(A)0.01234 (B)–12.34 (C)–2.20 (D)0.2200
五、练习题答案
该数有效数字第四位的一半。2.四 3.(A) 4.(B) 5.(C) 6.(D)
2
计算方法与实习――地球物理系 raw.doc
方程求根
(一) 考核知识点
二分法;迭代法――牛顿法;弦截法。
(二)复习要求
1.知道有根区间概念,方程 f(x)=0 在区间(a,b)有根的充分条件。
2.掌握方程求根的二分法;二分法及二分次数公式,迭代法及其收敛性。
3.熟练掌握牛顿法,掌握初始值的选择条件。
4.掌握弦截法。
一、重点内容
1.二分法:设方程 f(x)=0 在区间[a,b]内有根,用二分有根区间的方法,得到有根区间序列:
x
*
≈x
n
= (a
0
=a,b
0
=b),n=0,1,2,…
有误差估计式:½x
*
-x
n
½≤ ,n=0,1,2,…,二分区间次数:
2.牛顿法:用切线与 x 轴的交点,逼近曲线 f(x)与 x 轴的交点。迭代公式为
(n=1,2,…),选初始值 x
0
满足 f(x
0
)f²(x
0
)>0,迭代解数列一定收敛。
3.弦截法:用两点连线与 x 轴交点逼近曲线 f(x)与 x 轴的交点。迭代公式为
(n=1,2,…)
二、难点内容:
(1)、迭代法概念:若方程 f(x)=0 表成 x=j(x),于是有迭代格式:x
n
=j(x
n
-
1
)(n=1,2,…),
,
x
*
≈x
n
,存在 0<l<1,|¢j(x)|£l,在区间[a,b]内任一点为初始值进
行迭代,迭代数列收敛。
(2)定理一:设 在区间【a,b】上具有一阶连续的导数,且满足如下两个条件:①当
时, ;②存在正常数 L<1,使得对任意 有 。则
1 方程 f(x)=0 在区间【a,b】上有唯一根;
2 对任意 ,迭代格式 x=j(x)收敛,且 ;
(3)定理二:设方程 f(x)=0 在区间【a,b】内有根 x
*
,且当 时, ,则对任意初
始值 ,且 ,迭代格式 x=j(x)发散。
(4)定理三(局部收敛):设方程 x=j(x)有根 x
*
,且在 x
*
的某个邻域 内 j(x)存在
一阶连续的导数,则①当 时,迭代公式 局部收敛;②当 时,迭代公
式 发散。
(5)迭代序列收敛阶的概念
3
计算方法与实习――地球物理系 raw.doc
若存在 0<l<1,|¢j(x)|£l,在区间[a,b]内任一点为初始值进行迭代,迭代数列收敛。设迭代序列
收敛于 ,如果存在实数 与正常数 c,使得 ,则称序列 是 阶收敛于
。特别地,当 时,称序列 为线性(一次)收敛; 为线性收敛时,必须要求 。当
时,称序列 为平方(二次)收敛;当 时,称序列 为超线性收敛;收敛阶 越大,
则序列 与 的误差缩减越快,也就是序列 收敛越快。
(6)定理四:若 j(x)在 x
*
附近的某个邻域内有 阶连续导数,且
,且对一个任意靠近 x
*
的初始值,迭代公式
是 p 阶收敛的。
三、例题
例 1 证明方程 1-x-sinx=0 在区间[0,1]内有一个根,使用二分法求误差不超过 0.5×10
-
4
的根要
迭代多少次?
证明令 f(x)=1-x-sinx, ∵f(0)=1>0,f(1)=-sin1<0 ∴f(x)=1-x-sinx=0 在[0,1]有根。
又 f¹(x)=-1-cosx<0(xÎ[0.1]),故 f(x)=0 在区间[0,1]内有唯一实根。
给定误差限 e=0.5×10
-
4
,有
,只要取 n=14。
例 2 用迭代法求方程 x
5
-4x-2=0 的最小正根,计算过程保留 4 位小数。
[分析]容易判断[1,2]是方程的有根区间。
若建立迭代格式 ,此时迭代发散。
建立迭代格式 ,此时迭代收敛。
解建立迭代格式, ,
, ,
, ,
, 。取 1.5185。
例 3 试建立计算 的牛顿迭代格式,并求 的近似值,要求迭代误差不超过 10
-
6
。
[分析]首先建立迭代格式.确定取几位小数,求到两个近似解之差的绝对值不超过 10
-
6
。
4
计算方法与实习――地球物理系 raw.doc
解令 ,求 x 的值.牛顿迭代格式为
。迭代误差不超过 10
-
6
,计算结果应保留
小数点后 6 位。
当 x=7 或 8 时,x
3
=343 或 512, ,取 x
0
=8,有
,
,
于是,取 7.439760
例 4 用弦截法求方程 x
3
-x
2
-1=0,在 x=1.5 附近的根.计算中保留 5 位小数点.
[分析]先确定有根区间.再代公式.
解 f(x)=x
3
-x
2
-1,f(1)=-1,f(2)=3,有根区间取[1,2]。
迭代公式为 (n=1,2,…) 取 x
1
=2,
5
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