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首页常微分方程习题集(华东师范大学版)
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2003
9
1.1
1
1.2
3
1.3
14
2.1
19
2.2
22
2.3
27
2.4
37
!"
3.1
44
3.2
!"
47
3.3
#$ %!
50
1
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1.1
1.
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1)
dy
dx
= 4x
2
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2
:
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2)
d
2
y
dx
2
+ 2y
dy
dx
+ 3xy = 0:
2
:
#
.
3)
d
2
y
dx
2
+ p (x)
dy
dx
+ q (x) y = f (x)
2
:
.
4)
dy
dx
+ cos y + x = 0.
2
:
#
.
2.
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2
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I
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I
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I
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n
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3.
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y = 2 + c
√
1 − x
2
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c
1UV
)
/
¡
1 − x
2
¢
dy
dx
+ xy = 2x
=
,
,])HIrst
y (0) = 3
.
:
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c,
v
(y − 2
2
)/(1 − x
2
) = c
2
,
wxyz
x
]
^
,
v
2[(1 − x
2
)(y − 2)dy/dx + (y − 2)
2
x]/(1 − x
2
)
2
= 0,
{|v
(1 − x
2
)dy/dx + xy = 2x. (
}
:
/~JX UV
c
)
,
Z
x
]^
YT
c
rst
:
3 = y (0) = 2 + c
v
c = 1,
HIrst /
y = 2 +
√
1 − x
2
.
4.
op
e
y
− e
x
= c (
f
c
1UV
)
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dy
dx
= e
x − y
=
.
:
/
.
S
exp(·)
34
(J
.
exp(y) − exp(x) = c
!
NJ
y(x),
exp(y(x)) − exp(x) ≡ c,
wxZ
x
]^v
,
exp(y(x))dy/dx − exp(x) = 0,
|
v
dy/dx = exp(x − y),
T8
NUV
c
J
exp(y) −exp(x) = c
HI
,
!E
exp(y) − exp(x) = c
/=
.
5.
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DUj
2
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R
C
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w
l,
])
_
r
5
HI
.
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1
2
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j
(x, y)
2
1
Y − y = y
0
(X −x),
6
x
y
\
j:1
(x − y/y
0
, 0)
1
(0, y − xy
0
),
dSd] 1
(x − y/y
0
)
2
+ (y − xy
0
)
2
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2
.
6.
\
r
DUj
2
Mj
';
j
R
C
%
1
α,
])
_
r
5
HI
.
:
V
, tan(arctan y
0
−arctan(y/x)) = tan α ≡ k,
V
./
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(y
0
− y/x) = k(1 + yy
0
/x).
7.
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r
(x − c
1
)
2
+ (y − c
2
)
2
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2
3
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,
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c
1
, c
2
, c
3
1UV
.
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x
]^
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v
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1
) + 2(y − c
2
)y
0
= 0,
Z
x
]^
1
v
2 + 2y
02
+ 2(y − c
2
)y
00
,
)
c
2
: c
2
= y + (1 + y
02
)/y
00
,
Zq
yz
x
]^
1
vd]
y
0
+ [(1 + y
02
)/y
00
]
0
= 0.
8.
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100
,
T
10
.
S
3
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e
,
S
2
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X
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.
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t
1
x (t)
,
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x (0) = 10(
),
A
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t (
)
,
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1
(100 + t) (
),
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"
1
x
100 + t
(
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),
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,
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dx
dt
=
−2x
100 + t
k
f
/d]
.
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A
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k
B
9k
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k
T
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k
D.
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u.
p
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m,
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1
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Y
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,
1
p,
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k
D
u
2
H
6
k
b
h
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a
.
(
4
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:
D = ku
2
, k
/
z
k
+,
!
-
v_
a
k
mdu/dt = p/u − ku
2
.
2
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1.2
*-./
:
#
01
dx/dt + p(t)x = q(t)
2
RS
34
1
x(t) = h(t)
³
c +
R
t
t
0
q(s)/h(s) ds
´
qX
h(t)
/Z
5
01
dx/dt + p(t)x = 0
UN
6
! #$?
,
Rk
h(t) = exp(
R
−p(t) dt)
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.
qX
exp(s) = e
s
34
(
J
. c
1UV
.
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X wNJ
h(t)
78
k
NJ
.
1.
9
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:
1)
dy
dx
+ ye
2x
= 0
: y = c exp(
R
−e
2x
dx) = c exp(−e
2x
/2)
2) sec
2
x tan y dx + sec
2
y tan x dy = 0
:
;
R
+
1
tan y d tan x + tan x d tan y = 0,
uW
d (tan x tan y) = 0,
)
v=
tan x tan y = c.
3) (x + 1)
dy
dx
+ 1 = 2e
−y
:
~
;
+
1
(x + 1)e
y
dy + (e
y
− 2) dx = 0,
<
W
+
1
(x + 1)d(e
y
− 2) + (e
y
− 2)d(x + 1) = 0,
d[(x + 1)(e
y
− 2)] = 0,
)
v
=
(x + 1) (e
y
− 2) = c.
4)
dy
dx
+
1
y
e
y
2
+ 3x
= 0
:
~
;
+
1
6e
3x
dx + 6ye
−y
2
dy = 0,
)
v=
2e
3x
− 3e
−y
2
= c.
5)
dy
dx
= e
x − y
:
~
+
1
e
y
dy − e
x
dx = 0,
)
v=
e
y
− e
x
= c.
6) x
2
(1 − y) dy + y
2
(1 + x) dx = 0
:
=
xy 6= 0
,
~
+
1
(1/x
2
+ 1/x) dx + (1/y
2
−1/y) dy = 0.
)
v=
1/x + 1/y + ln[y/(cx)] = 0.
>
8wN?
, x = 0
g
y = 0,
6
?
Yc
@
A=X
.
7) 3e
x
tan y dx + (1 − e
x
) sec
2
y dy = 0, y(1) = π/4
:
~
;
+
1
−3 tan y d(e
x
−1)+(e
x
−1) d tan y = 0,
wx
A
S
(e
x
−1)
−4
,
v
d
h
(e
x
− 1)
−3
tan y
i
= 0,
)
v=
(e
x
− 1)
−3
tan y = c,
tan y = c (e
x
− 1)
3
,
@ 1
y = arctan[[e
x
− 1)
3
/ (e − 1)
3
].
8) x
p
1 + y
2
+ y
√
1 + x
2
dy
dx
= 0, y (0) = 1
2
:
=1
√
1 + x
2
+
p
1 + y
2
= c.
@ 1
y =
r
³
√
1 + x
2
− 1 −
√
2
´
2
− 1.
9) (1 + x) y dx + x (1 − y) dy = 0, y (2) = 0
2
:
@ 1
y = 0 (
Y
B
u=
ln((xy)/c) = y − x
Xv
i
).
10) xy
³
1 + x
2
´
dy
dx
= 1 + y
2
, y (1) = 0.
:
~
+
1
d(1 + y
2
)/d(x
2
) = (1 + y
2
)/[x
2
(1 + x
2
)],
:*
v
d(1 + y
2
)/(1 + y
2
) = [1/x
2
− 1/(1 + x
2
)]d(x
2
),
)
v=1
3
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