线性规划数学建模实例线性规划数学建模实例_线性规划建模案例

线性规划数学建模实例

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精练食品油生产的数学模型

[摘要] 本文讨论了精练食品油生产的优化方案。

根据生产的实际情况，在适当假设下，对生产过程中的一些涉及量推导了计算公

式，找出这些涉及量间的不等式关系、等式关系和有界关系。从而建立了精炼油生产

方案的通用的模型。这个模型是一个有约束连续优化问题。经改写归结成一个线性规

划问题。

要使用数学软件Matlab的函数linprog来求解通用模型中的线性规划问题，要对通用

模型中的二维决策变量，改成一维决策变量，并将通用模型中的线性规划问题改写，

从而创建了求解通用模型的m-函数文件make_prog.m。

对于原问题中提出的第一个问

题，创建了m-脚本文件oil_prog1.m。运行这个m-脚本文件，就获得生产过程中所能获

得的最大利润元。

对于原问题中提出的第二个问题，

首先讨论了利润与原料油市场价格增

长率的关系。创建m-脚本文件oil_prog2.m来计算利润函数的数量的变化，并作出它的

图形。从图形中直观地了解到利润函数是单减函数。进一步求得利润函数的零点，即

停产市场价格增长率的值为。显然，在成品油市场价格固定的情况下，x>x0时再生产

成品油就只能赔本。

作为通用模型的一个应用，在

原题已知数据下讨论了厂方是否能盈

利更多的问题。通过运行m-脚本文件oil_prog3.m得到结论：厂方要达到利润元是可能

的，只要将成品油市场价格提高到元/吨且储存单价降到元/吨/月即可。

[关键词] 食品油有约束的优化线性规划 Matlab 函数

i j

1 1100 1200 1300 1100 1150

2 1300 1300 1100 900 1150

3 1100 1400 1300 1000 950

4 1200 1100 1200 1200 1250

5 1000 1200 1500 1100 1050

6 900 1000 1400 800 1350

每个月所生产的成品油都将在

市场上销售完。假设在未来的个月

中成品食品油的市场销售价元/吨。

各种原料油必须首先要进行精炼。

在工厂中，植物油和非植物油要在不

同的生产线上进行精炼。由于工厂的设备有限，所以在每个月中最多可精炼植物油吨

和非植物油吨。

假设在原料油精炼过程中没有质量的损失，且完全混合成成品食用油。因此，精

炼过的原料油数量等于成品油数量。

因有精炼工艺的限制，故每

月的成品油产量必然不会超过吨。

在整个生产期间（个月）成品油总产量不超过吨。如果食品油的市场价每月都是元/吨，

则总收益，从而总利润都不超过元。

厂方在生产前就有每种原料油各

吨，并且要求在生产结束是仍然保有

原先有的每种原料油的数量。

工厂要生产食品油，购入原料油是必须的。从而产生成本的一部分 — 原料油购入

费。它可根据各种原料油市场价格乘以原料油购入量而算得。显然，原料油市场价格

的减小或者原料油购入量的减小将使这笔费用减小。

注意到，原料油总购入量至

少等于成品油总量，不必要超过成品油总量2700吨。再注意到原料油的市场价最低为

800元/吨，最高为1400元/吨，因此原料油总购入费大约在元与元间。

原料油在进行精炼加工后再混合成成品油。这里应该有加工费用。但因原料油的

精炼量、成品油量和成品油销量是相同的，这个加工费可认为已被成品油的市场价所

消化。所以不妨假设这里的费用不存在。

虽然加工过程中已经精炼的原料油和成品油都是不储存的（即成品油的当

月都销完），但剩余的原料油是要储存的。这就产生了成本的另一部分 — 原料油储存

费。假设原料油的储存费率为元/吨/月。由于在月初和月末的原油量是不同的，且从数

量上是均匀减少的，所以原料油的月储存费可以用原料油的月平均量与储存费率的乘

积。显然当储存费率的减小或者平均储存量的减小将使这一部分费用减小。

由于厂方的储存空间有限，所以

规定每种原料油最多可储存吨。

对以成品油的质量，有一个硬度要

求。成品油的要硬度求被限定至之间。

成品油的硬度可以通过各种精炼过的原料油的硬度按它们在成品油中的比例来加权平

均（即线性混合）来计算。已知各种原料油硬度如下表：

油类

硬度

8.8 6.1 2.0 4.2 5.0

现在要提出的问题是：

（1）为使公司在个月中生产食用油能够获得最大的利润，在上述已知的

条件下，应该采取什么样的原料油的采购方案和成品油的加工方案？采用这个方案能

够产生的利润是多少？

（2）如果原料油的市场价格有变化，采购的方案和加工的方案应该做怎样的调整

才能获得利润？假设原料油市场价以如下方式变化：以第一个月为基础，第2个月植物

油价格上升x%，非植物油上升2x%；第3个月植物油价格上升2x%，非植物油上升4x

%；以后各月保持这种线性的上升势头变化。试讨论对于不同的值x（直到20），为

取得最大利润，生产方案将有怎样的变化？产生的利润是多少？在什么情况下将没有

利润，不应该进行生产？

3 通用的模型

一个食品加工企业，从市场购进作为原料油的粗油，经过提炼并混合成成品——

精练食用油出售，从中获取利润。问题是如何安排一段时间生产计划，能够获得最大

利润。

为了适应一般情况，且便于进行各方面的讨论，将构造一个（相对）通用的模型。

3.1 基本假设

假设1 在一段时间（若干个月）内进行成品油的生产。

假设2 在生产中用的原料油有几种，其中有些是植物油，有些是非植物油。

假设3 所用的原料油都从市场购入，且在每月初购入。

假设4 将部分原料油进行提炼并混合成成品油。在加工过程中油量的损失不计。

假设5 生产开始前和生产结束后，各类原料油都保持有相同的数量。

假设6 在生产期间，各种原料油的市场价格和成品油的市场价格均不变。

假设7 在将原料油提炼和混合加工时的加工费不计。

假设8 每个生产月内原料油数量均匀减少，所以用平均原料油数量作为储存量。

假设9 每种原料油的储存费率都相同且为固定的值。

假设10 提炼过的原料油所混合成的成品油不储存，一经产出立即售完。

假设11 每种原料油都有最多可储存的相同的数量。

假设12 由于加工能力有限，每月可精练的植物油和非植物油数量都受限制。

假设13 硬度各异的各类原料油按比例线性混成的成品油的硬度在指定范围内。

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