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初等数学

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高中数学常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系

x A x C A  

x C A x A  

2.德摩根公式

( ) ; ( )

U U U U U U

C A B C A C B C A B C A C B    

3.包含关系

A B A A B B   

U U

A B C B C A   

A C B  

C A B R 

4.容斥原理

( ) ( )card A B cardA cardB card A B   

( ) ( )card A B C cardA cardB cardC card A B     

( ) ( ) ( ) ( )card A B card B C card C A card A B C       

5．集合

1 2

{ , , , }

a a a

的子集个数共有

个；真子集有

–1 个；非空子集有

–1

个；非空的真子集有

–2 个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式

( ) ( 0)f x ax bx c a   

;

(2)顶点式

( ) ( ) ( 0)f x a x h k a   

;

(3)零点式

1 2

( ) ( )( )( 0)f x a x x x x a   

7.解连不等式

( )N f x M 

常有以下转化形式

( )N f x M 



[ ( ) ][ ( ) ] 0f x M f x N  



| ( ) |

2 2

M N M N

f x

 

 



( )

f x N

M f x









1 1

( )f x N M N



 

8.方程

0)( xf

在

),(

上有且只有一个实根,与

0)()(

kfkf

不等价,前者是后

者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程

)0(0

 acbxax

有且只有一个实根在

),(

内,等价于

0)()(

kfkf

,或

0)(

kf

且





,或

0)(

kf

且





9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数

)0()(

 acbxaxxf

在闭区间

 

qp,

上的最值只能在



处及区

间的两端点处取得，具体如下：

(1) 当 a>0 时，若

 

x ,



，则

第

页共

页

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

16.函数的单调性

(1)设

 

2121

,, xxbaxx 

那么

 

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) 0x x f x f x  



 

baxf

xfxf

,)(0

)()(

在



上是增函数；

 

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) 0x x f x f x   

 

baxf

xfxf

,)(0

)()(

在



上是减函数.

(2)设函数

)(xfy 

在某个区间内可导，如果

0)( 



，则

)(xf

为增函数；如果

0)( 



，则

)(xf

为减函数.

17.如果函数

)(xf

和

)(xg

都是减函数,则在公共定义域内,和函数

)()( xgxf 

也是减

函数; 如果函数

)(ufy 

和

)(xgu 

在其对应的定义域上都是减函数, 则复合函数

)]([ xgfy 

是增函数.

18．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图

象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个

函数是偶函数．

19.若函数

)(xfy 

是偶函数，则

)()( axfaxf 

；若函数

)( axfy 

是偶函

数，则

)()( axfaxf 

20.对于函数

)(xfy 

(

Rx 

)()( xbfaxf 

恒成立,则函数

)(xf

的对称轴是

函数





;两个函数

)( axfy 

与

)( xbfy 

的图象关于直线





对称.

21. 若

)()( axfxf 

, 则函数

)(xfy 

的图象关于点

)0,

(

对称 ; 若

)()( axfxf 

,则函数

)(xfy 

为周期为

的周期函数.

22．多项式函数

1 0

( )

n n

P x a x a x a



   

的奇偶性

多项式函数

( )P x

是奇函数



( )P x

的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数

( )P x

是偶函数



( )P x

的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

23.函数

( )y f x

的图象的对称性

(1)函数

( )y f x

的图象关于直线

x a

对称

( ) ( )f a x f a x   

(2 ) ( )f a x f x  

(2)函数

( )y f x

的图象关于直线

a b





对称

( ) ( )f a mx f b mx   

( ) ( )f a b mx f mx   

24.两个函数图象的对称性

(1)函数

( )y f x

与函数

( )y f x 

的图象关于直线

0x 

(即

轴)对称.

(2)函数

( )y f mx a 

与函数

( )y f b mx 

的图象关于直线

a b





对称.

(3)函数

)(xfy 

和

)(

xfy





的图象关于直线 y=x 对称.

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haibuyanshen

2021-07-15

高等数学的基础

weixin_45941653

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