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浙大线性代数习题答案(1).doc
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更新于2023-03-03
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浙江大学版线性代数课本课后习题解答 目录 第一章 行列式 习题1.1 习题1.2 习题1.3 习题1.4 习题1.5 习题1.6 线性方程组 习题2.1 习题2.2 习题2.3 习题2.4 习题3.1 习题3.2 习题3.3 习题3.4 习题3.5 习题3.6 线性空间和线性变换 习题4.1 习题4.2 习题4.3 习题4.4 习题4.5 习题4.6 习题4.8 习题4.11 特征值和特征向量 矩阵对角化 习题5.1 习题5.2 习题5.3 习题5.4 习题5.5 习题6.1 习题6.2 习题6.3 习题6.4 习题6.5
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线性代数习题答案.............................................................................................................................2
第一章 行列式....................................................................................................................................2
习题 1.1...............................................................................................................................................2
习题 1.2...............................................................................................................................................3
习题 1.3...............................................................................................................................................4
习题 1.4...............................................................................................................................................7
习题 1.5.............................................................................................................................................11
习题 1.6.............................................................................................................................................12
线性方程组.......................................................................................................................................14
习题 2.1.............................................................................................................................................14
习题 2.2.............................................................................................................................................15
习题 2.3.............................................................................................................................................16
习题 2.4.............................................................................................................................................16
习题 3.1.............................................................................................................................................18
习题 3.2.............................................................................................................................................21
习题 3.3.............................................................................................................................................24
习题 3.4.............................................................................................................................................26
习题 3.5.............................................................................................................................................27
习题 3.6.............................................................................................................................................30
线性空间和线性变换.......................................................................................................................32
习题 4.1.............................................................................................................................................32
习题 4.2.............................................................................................................................................33
习题 4.3.............................................................................................................................................33
习题 4.4.............................................................................................................................................34
习题 4.5.............................................................................................................................................36
习题 4.6.............................................................................................................................................36
习题 4.8.............................................................................................................................................37
习题 4.11...........................................................................................................................................39
特征值和特征向量 矩阵对角化.....................................................................................................40
习题 5.1.............................................................................................................................................40
习题 5.2.............................................................................................................................................41
习题 5.3.............................................................................................................................................42
习题 5.4.............................................................................................................................................44
习题 5.5.............................................................................................................................................47
习题 6.1.............................................................................................................................................48
习题 6.2.............................................................................................................................................50
习题 6.3.............................................................................................................................................52
习题 6.4.............................................................................................................................................53
习题 6.5.............................................................................................................................................54
线性代数习题答案
第一章 行列式
习题 1.1
1. 证明:(1)首先证明 是数域。
因为 ,所以 中至少含有两个复数。
任给两个复数 ,我们有
。
因为 是数域,所以有理数的和、差、积仍然为有理数,所以
。
如果 ,则必有 不同时为零,从而 。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数,所以
。
综上所述,我们有 是数域。
(2)类似可证明 是数域,这儿 是一个素数。
(3)下面证明:若 为互异素数,则 。
(反证法)如果 ,则 ,从而有
。
由于上式左端是有理数,而 是无理数,所以必有 。
所以有 或 。
如果 ,则 ,这与 是互异素数矛盾。
如果 ,则有 ,从而有“有理数=无理数”成立,此为矛盾。
所以假设不成立,从而有 。
同样可得 。
(4)因为有无数个互异的素数,所以由(3)可知在 和 之间存在无穷多个不同
的数域。
2. 解:(1) 是数域,证明略(与上面类似)。
(2) 就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。
而 复数域。
(3) 不是数域,这是因为他关于除法不封闭。例如 。
3. 证明:(1)因为 都是数域,所以 ,从而 。故
含有两个以上的复数。
任 给 三 个 数 , 则 有 且 。 因 为
是 数 域 , 所 以 有 且 。 所 以
。
所以 是数域。
( 2 ) 一 般 不 是 数 域 。 例 如 , 我 们 有
,但是 。
习题 1.2
2. 解:项 的符号为
习题 1.3
1.证明:根据行列式的定义 =
=0。
所以上式中(-1)的个数和(+1)的个数一样多,(-1)是由奇排列产生的,而(+1)是由偶排列
产生的。同时根据行列式的定义这里包括了所有的 阶排列,故可以得到全体 阶排
列中奇排列的个数与偶排列的个数一样多,各占一半。
2.解 (1) = ;
(2) ;
(3)
;
(4)
= 。
(5)
。
3.解:(1) 。
(2)左端
= =右端。
(3)
。
(4)原式(先依次 )=。。。 = 。
(5)原式(先依次 )=。。。 = 。
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