第 25卷 第 1期 吕梁高等专科学校学报 2009年 3月
25 1 2009
矩阵 分解的三种方法
李建东
吕梁高等专科学校 数学系 山西 离石 033000
摘要矩阵的 分解可利用 正 交化 矩阵的初等变换以及 变换方法
关键词分解 初等变换 变换
中图分类号15121文献标识码文章编号1008 7834200901 0016 04
若 阶实非奇异矩阵 可以分解为正交矩阵 与实非奇异上三角矩阵 的乘积 即 则称该分
解式为矩阵 的 分解 进而 是 列满秩矩阵 若 其中 是 矩阵
称 为列
正交矩阵 为非奇异上三角矩阵也称为矩阵 的 分解
1利用 正交化求矩阵的 分解
正交化方法是矩阵的 分解最常用的方法 主要依据下面的两个结论
结论 1
1
设 是 阶实非奇异矩阵 则存在正交矩阵 和实非奇异上三角矩阵 使 有 分解 且
除去相差一个对角元素的绝对值模 全等于 1的对角矩阵因子外 分解是唯一的
结论 2
2
设 是 实矩阵 且其 个列线性无关 则 有分解 其中 是 实矩阵 且
满足
是 阶实非奇异上三角矩阵该分解除去相差一个对角元素的绝对值 模全等于 1 的对角
矩阵因子外是唯一的
步骤1写出矩阵的列向量
2把列向量按照 正交化方法进行正交
3得出矩阵的 分解
例 1用 正交化方法求矩阵
1 2 2
2 1 2
1 2 1
的 分解
解 令
1
1 2 1
2
2 1 2
3
2 2 1
正交化得
1
1
1 2 1
2
2
1
1 1 1
3
3
1
3
2
7
6
1
1
2
0
1
2
构造矩阵
1
6
1
3
1
2
2
6
1
3
0
1
6
1
3
1
2
6 0 0
0 3 0
0 0
1
2
1 1
7
6
0 1
1
3
0 0 1
6 6
7
6
0 3
1
3
0 0
1
2
则有
16
收稿日期20081103
作者简介李建东1978 男 汉族 山西方山人 吕梁高等专科学校数学系助教
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