Lecture 5: Lagrange Theorem and Isomorphism of Groups
♦ 陪集：设H为群G的子群，对任意的a ∈ G, 定义
aH =: {a ∗ h|h ∈ H} ⊂ G,
称集合aH为G的关于H的一个左陪集。同理可以定义右陪集
Ha =: {h ∗ a|h ∈ H} ⊂ G.
r Remark:
1) aH一般不在是G的子群,事实上可以证明aH为子群当且仅当aH =
H;
2)aH = H ⇔ a ∈ H;
3) h → ah给出了H到aH的一个一一的映射，特别的每个左（右）陪集
与H的元素个数相同。
I Lemma: 设H < G, 则H的任意两个左（右）陪集或者相等或者交集为
空。
Proof. 假设aH∩bH 6= ∅, 我们有x ∈ aH∩bH, x = a∗h
1
= b∗h
2
, h
1
, h
2
∈
H ⇒ a = bh
2
h
−1
1
, b = ah
1
h
−1
2
。对任意的y ∈ aH, y = a ∗ h = bh
2
h
−1
1
h ∈
bH，i.e. aH ⊂ bH。同理可证bH ⊂ aH，我们有aH = bH。 ¤
F Remark: 1)由上述命题可知子群H < G可以诱导G上的一个等价关
系φ：
aφb ⇔ ∃c ∈ G, a, b ∈ cH.
2) G = ∪
a∈G
aH，由上述命题可知去掉{aH}中重复出现的多余的左陪
集则确定集合G上的一个划分。易知此划分与1)中关系φ对应。
♦ 阶：
♦ 群G的阶：群G中元素的个数称为群G的阶，记为|G|。若|G| < ∞，则
称G为有限群（注意与有限生成的群概念的区别），反之称G为无限
群。
♦ 元素的阶：对任意的a ∈ G，称子群< a >< G的阶为元素a的阶，记
为o(a)。当o(a) < ∞时，o(a)为最小的正整数d，使得a
d
= e。
♦ 若存在a ∈ G使得G =< a >，则称G为循环群。
N Example: 1)(Z, +)为无限循环群，Z的子群nZ亦为循环群。
2) (Z
n
, +)为有限循环群，|Z
n
| = n。
3)二面体群D
n
为有限群，|D
n
| = 2n。试求D
n
中元素的阶。
I
Theorem(Lagrange): 设G为有限群，H为G的子群，则|H|整除|G|。
Proof. 因为G = ∪
a∈G
aH，而|H| ≥ 1且G为有限群，由陪集要么相等要
么相交为空集知，存在a
1
, · · · a
r
使得G = ∪
r
i=1
a
i
H，其中a
i
H两两互不
相交。由|a
i
H| = |H|，我们有|G| = r|H|。 ¤
F Remark: 设H < G，H的不同的左（右）陪集的个数r称为H在G中的
指数。
I Corollary: 设G为有限群，则G中的每个元素的阶一定为|G|的因子，i.e.
a
|G|
= e。
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