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数学建模国赛

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平行束 CT 系统的参数标定及成像

摘要

CT 系统是利用 X 射线等线束对人体或样品进行扫描，根据被扫瞄样品的吸

收特性进行断层成像，被广泛应用于医学与工业领域。CT 系统安装时往往会产

生误差，本文研究的是平行束 CT 系统的参数标定及成像问题。

针对问题一，首先研究了探测器之间的距离，利用小圆在各个方向投影的

不变性，从附件二数据中总结出了小圆投影的三种典型情况，建立了探测器间

距与小圆直径的不等关系式，在最大误差不超过 1.57%的情况下，取探测器间

距为。其次研究了发射-接收系统与标定模板之间的相对运动。假设

发射-接收系统固定不动，选取小圆模板为研究对象，运用微元法，建立了运动

微分方程，求解得到小圆模板相对探测器平面的运动方程。根据椭圆模板的特

性以及微分方程的变化率，从附件二数据中选取了 3 个特殊点：椭圆长轴、短

轴方向以及变化率最低点，代入上述方程中求解出未知参数，由此解得旋转中

心相对于小圆模板的位置。以托盘几何中心为原点建立一个绝对坐标系，求解

得到的旋转中心在绝对坐标系的坐标为（  ）。之后利用寻找极

值与 prewitt 算子提取边缘的方法，提取出了 180 个小圆的位置，代入方程中

解得相应的旋转方向，范围为󰇟󰇠。最后，利用问题二的模型

对附件二进行图像重建，以此对标定参数进行再次修正，最终将旋转中心坐标

修正为（  ），旋转方向范围修正为󰇟󰇠。

针对问题二、三，首先利用第一问所求的旋转中心点的坐标，建立了投影

直角坐标系和投影极坐标系。利用滤波反变换方法，对原图进行了重建，利用

傅立叶变换和卷积滤波处理，消除了星型伪影的影响，利用线性插值和邻近插

值解决了坐标系间离散值转换的难题，利用双线性插值将图形放缩到 

规模的图像，由此得到了重建的原图；再将重建的图像进行二值化处理，得到

类似于附件 1 的分布矩阵，并单独给出如椭圆中心点等特征点的位置信息，更

好标定位置。最后，将图像重建算法视为黑箱系统，研究附件二的输入数据与

输出图像灰度值的关系，以附件一为“吸收率”的基准，得出将原始数据作二

倍增益处理后，输出图像的灰度值与吸收率实现统一的规律。据此规律，将附

件 3 和附件 5 原始数据二倍增益处理后，进行图像重建，即得到吸收率。

针对问题四，首先对问题一的求解进行了误差分析，椭圆自身的特性限制

了求解精度的进一步提高。在保留小圆标定模板的基础上，本文设计了正方形

以及正六边形两种新型标定模板，可以在多个方向找到特征值，从而建立出超

定方程组，从而减小提取特征点的误差影响。如有相应的实验数据，可用遗传

算法等智能搜索算法进行寻优求解。

最后，我们对修正后的旋转中心坐标进行了检验。发现修正后的旋转中心

在探测器平面上的投影与探测器平面中心仅有的误差，几乎重合，这

个结论支持了本文的模型和结果。同时也求解出探测器平面在安装时相对于托

盘几何中心存在的误差。

关键词 CT 系统平行束参数标定滤波反投影标定模板

四问题分析

4.1 问题一的分析

问题一是为了标定 CT 系统的安装误差，CT 系统在安装时，理想状态是使

通过旋转中心的平行光束垂直于探测器平面，且垂足位于探测器平面中心。本

问题研究 CT 系统的旋转中心相对于正方形托盘中心的误差。考虑到椭圆相对旋

转中心的运动不明显，会增大建模的误差，因此可以研究圆形模板与发射—接

收系统的相对运动，假定发射—接收系统固定不动，圆形模板绕发射—接收系

统顺时针转动，以第一个探测器为坐标原点，建立了一个探测器坐标系，利用

微元法，建立了圆形模板圆心在探测器坐标系里的相对运动微分方程。为了求

解方程中的参数，我们对附件二中的数据进行数据处理，选取了三个特征点，

分别为平行光束沿椭圆模板短轴和长轴的方向，以及变化率最小的点，将三个

点的数据带入微分方程，可以解得微分方程中的三个参数，既而得到了旋转中

心与圆形模板的距离，以及两者连线与水平方向的夹角，则可以确定了旋转中

心的位置。最后，我们利用在限制窗口内寻找极值和利用 prewitt 算子提取边

界点的方法，从附件二数据中提取了小圆的 180 个圆心点，将其带入小圆圆心

的方程中，得到了 CT 系统使用的 X 射线的 180 个方向。

4.2 问题二、三的分析

问题二是为了在得知旋转中心情况下，将附件 3 的 CT 投影数据，经滤波反

雷登变换，将原二维图像进行重建，并表示出该图像在托盘中的位置和吸收率

等信息。首先利用第一问以求得的旋转中心建立投影直角坐标系和投影极坐标

系。在反投影重建的过程中，容易受到低频杂波的影响，使得重建的图像不清

晰，因此，我们采用滤波反投影重建方法，将运用傅立叶变换，卷积滤波，傅

立叶切片定理等知识，将 180 角度的投影再二维频率域重组，经过二维反傅立

叶变换和插值运算，将图像的矩阵重建，最后，利用二维线性插值，将图像矩

阵规模缩放为  ,由此，就得到了重建图像，并且每一个像素点的位置

就是原图在托盘中的位置，为了更为方便的表示位置，我们将图中 6 个椭圆的

中心在绝对坐标系下的单位为毫米的坐标值。在吸收率的计算过程中，我们利

用黑箱理论分析附件 1 和附件 2 的关系，得到了 CT 投影矩阵与原图吸收率之间

的关系，求解出附件 3 重建的图像中每个点的吸收率。

由于问题三和问题二属于同一类问题，在此不再赘述。

4.3 问题四的分析

要设计新的标定模板，首先要分析问题一中标定参数的误差来源。问题一

中标定参数是通过选取特殊点，带入方程中求解得到。由于探测器接收的数据

是离散的，选取特殊点时会不可避免的产生误差，而受限于椭圆模板的自身特

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