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无痛苦NS方程.pdf
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更新于2023-05-26
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本笔记素材主要来源于为参加东岳流体权杆杄课程的同学准备的预习资料。本笔记一步一步地从最基本的守恒法则开始推导李札杓方程,推导过程详实且不失简短(朲朰余页),是非常易懂的权杆杄入门补充资料。
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无痛苦N-S方程笔记
An Introduction of The Navier-Stokes Equation
Without Pain
李东岳


杉
前言 本笔记素材主要来源于为参加东岳流体权杆杄课程的同学准备的预习资料。 本笔记一步一步地从最基本的守
恒法则开始推导李札杓方程,推导过程详实且不失简短(朲朰余页),是非常易懂的权杆杄入门补充 资料。因此非常适用
于无权杆杄基础的初学者。注意是无权杆杄基础而不是权杆杄基础薄弱。同学们只要懂高等数学,直接上手学习本笔记
即可。
李条杶杩来杲札杓杴杯杫来杳方程(李札杓方程)是权杆杄最基本的控制方程,其由守恒定律推导而来:
∂ρ
∂t
末 ∇ · 木ρ杕朩 朽 朰 木朱朩
∂ρ杕
∂t
末 ∇ · 木ρ杕杕朩 朽 −∇p 末 ∇ · τ 木朲朩
其中ρ为密度,杕为速度,p为压力,ν为粘度,τ 为剪切应力。李札杓方程具有以下特点:
• 方程木朲朩中左边第二项是关于杕乘积的偏导数,这种未知量和未知量乘积的问题构成非线性问题,权杆杄对非线
性问题需要特殊处理。另一方面,非线性的双曲问题的解可能会存在间断(如激波)。激波通常存在于高超声
速的欧拉问题求解中。同时,非线性项也是湍流在数学方程中的体现;
• 方程木朲朩的数学特征为抛物线。不同数学 特征的问题需要调用不同的时间离散格式,隐性时间格式更有利于求
解抛物线问题。若方程木朲朩中省略若干项则会改变方程的数学特征,例如若将方程右侧置为朰,则变为双曲特征
的欧拉方程。欧拉方程得益于其双曲特性,可采用迎风类显性算法推进,各种基于有限体积法的高分辨率格
式因此而生(交错网格中心格式、中心札迎风格式等);
• 在马赫数较大时(如大于朰朮朳), 方程木朱朩可用来求解密度,方程木朲朩可用来求解速度,同时附加能量方程求解温
度以及状态方程求解压力,即密度基求解器。在马赫数较 小时,并没有单独的压力方程,并且方程木朱朩缺少主
要求解变量。这导致压力的求解需要特殊的策略。这也是权杆杄中压力基杓杉杍材杌杅术材杉杓杏算法、耦合术解耦算法
要处理的问题;
• 李札杓方程之源起:李札杓方程为宏观方程,调用了宏观假定,其可从玻尔兹曼方程(又名动理学方程)推导而来。
在更底层的介尺度研究领域,李札杓方程也即从介尺度模型演化的宏观二阶矩模型。在无压力无粘性的条件下具
备弱双曲特征。由于失去了高阶矩的统计学特征,因此李札杓方程在某些情况下是不适用的;
结合上述特点可见李札杓方程中存在大量的数学 问题。初学者在这里肯定不明白其具体含义。同时方程中充满火
星符号(如∇,∂)。东岳流体权杆杄课程(主要 是其中的杇来杮来杲条杬 权杆杄课程)因此分为两步,第一步是基本的李札杓方
程入门,第二部是李札杓方程求解。第一步需要同学们通过本笔记进行预习。第二部将在杇来杮来杲条杬 权杆杄课程上讲授。
致谢 算法博大精深、作者水平有限,本笔记难免有不妥和错误之处,敬请各位老师同学批评 指正。勘误、内容增
补等基于本笔记的任何问题可前往权杆杄中文网讨论,或邮件联系勘误:杬杩朮杤杹杀杤杹服杵杩杤朮杣杯杭
作者简介 李东岳,东岳流体、权杆杄界、权杆杄中文网创始人

杉杉
本笔记采用杌
A
杔
杅
杘制作,撰写工作由东岳流体提供赞助支持。电子版首发于朲朰朱朹年朲月朱朴日,最新修订于朲朰朱朹 年
朹 月 朱朴 日
• 小勘误:去掉一个的,增加脚注朳,朱朹朰朷朰朵,陈佳。修正一些笔误,朱朹朰朶朱朹,谢鹏。流畅更正为流场,朱朹朰朶朱朰,
沈学峰。修正一些错别字,朱朹朰朵朰朴,杆杲条杮杫朰朵朱朴
• 中勘误:修正朸个问题,朱朹朰朶朱朰,刘威。修正若干错误,朱朹朰朶朰朷,汪洋。修正交叉引用,朱朹朰朳朱朴,凃灿。方
程木朱朮朳朱朩左侧第二项
∂
∂t
修正为
∂
∂x
,朱朹朰朲朲朲,金国庆
• 增补:朲朮朴朮朳节,朱朹朰朲朲朰,李东岳。增加方程木朲朮朳朹朩 札 木朲朮朴朵朩,朱朹朰朲朲朵,李东岳。朲朮朱节中关于计算流体力学和流
体力学的区别,朱朹朰朳朰朷,李东岳。朲朮朵朮朳节;朲朮朵朮朴节中关于τ 在可压缩和不可压缩情况下的讨论,朱朹朰朳朱朳, 李东
岳。附录朱,朱朹朰朸朲朹,李东岳

目录
第一章 方程标识 朱
朱朮朱 矢量标识法 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朱
朱朮朲 张量标识法 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朲
朱朮朳 偏导标识法 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朴
朱朮朴 运算符标识法 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朵
第二章 流体与李札杓方程 朷
朲朮朱 导论 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朷
朲朮朲 泰勒公式 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朸
朲朮朳 流动模型 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朹
朲朮朳朮朱 有限控制体模型 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朹
朲朮朳朮朲 无穷小微团模型 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朹
朲朮朳朮朳 物质导数 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朱朰
朲朮朴 连续性方程 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朱朲
朲朮朴朮朱 从空间位置固定的无穷小微团推导连续性方程 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朱朲
朲朮朴朮朲 空间位置固定有限控制体推导的连续性方程 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朱朳
朲朮朴朮朳 通量与速度散度的物理意义 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朱朴
朲朮朴朮朴 从空间位置移动的无穷小微团推导的连续性方程 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朱朷
朲朮朴朮朵 连续性方程小结 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朱朷
朲朮朵 动量方程 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朱朸
朲朮朵朮朱 受力分析 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朱朸
朲朮朵朮朲 动量守恒 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朲朱
朲朮朵朮朳 守恒术非守恒转化 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朲朱
朲朮朵朮朴 封闭 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朲朲
朲朮朵朮朵 积分观点 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朲朳
第三章 拓展内容 朲朵
朳朮朱 变量有界性 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朲朵
附录:补充资料 朲朹
杉杉杉
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