分数阶微分方程的振动性研究

"分数阶微分方程的振动性，周勇，刘伟，湘潭大学数学与计算科学学院" 本文深入探讨了分数阶微分方程的振动性质，特别是关注一类包含Riemann-Liouville导数的分数时滞微分方程。这类方程通常表示为： \( (D^\alpha x)(t) + \sum_{i=1}^n p_i x(t-\tau_i) = f(t), \quad t \geq 0. \tag{*} \) 其中，\( D^\alpha \) 表示Riemann-Liouville导数，\( \alpha \) 是一个分数阶数，\( p_i \) 是与之相关的系数，\( \tau_i \) 是时滞项，\( f(t) \) 是一个给定的驱动函数。这个方程形式广泛应用于各种科学领域，如物理、力学、化学和工程，因为分数阶微分方程能够更好地模拟实际世界中的非局部和记忆效应。 为了分析这类方程的振动性，即所有解的振荡行为，作者采用了Laplace变换的方法。Laplace变换是一种强大的工具，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化问题的求解。通过这种方法，他们得到了方程（*）的解振动的充分条件。这些条件对于理解和预测分数阶微分方程的动态行为至关重要，因为振动性是描述系统稳定性的一个关键特性。 在文章的"Introduction"部分，作者指出分数阶微分方程近年来受到了广泛关注，这主要归因于它们在多个科学领域的广泛应用。在普通和偏微分方程的研究中，分数阶微分方程已经成为一个独立且活跃的研究分支，其理论和应用都有显著的进展。 关键词包括：常微分方程理论，分数时滞微分方程，振动性，Laplace变换和Riemann-Liouville导数。这些关键词突出了研究的核心内容和方法，表明了研究者们在这一领域的工作重点。 这篇论文对分数阶微分方程的振动性进行了深入研究，利用Laplace变换提供了新的分析工具，对于理解和解决这类方程的振动性问题具有重要意义，为后续研究提供了坚实的基础。