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SARS 传播的数学模型

学生：赵千苏学渊宋运吉

指导教师：杜鸿飞

摘要

本文分析了题目所提供的早期 SARS 传播模型的合理性与实用性，认为该模型可以

预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足.第一，混淆了累计患病人数与累计确

诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进行预测，后期预测结果不够准确；第三，模

型的参数 L、K 的设定缺乏依据，具有一定的主观性.

针对早期模型的不足，在系统分析了 SARS 的传播机理后，把 SARS 的传播过程划分

为：征兆期，爆发期，高峰期和衰退期 4 个阶段.将每个阶段影响 SARS 传播的因素参数

化，在传染病 SIR 模型的基础上，改进得到 SARS 传播模型.采用离散化的方法对本模型

求数值解得到：北京 SARS 疫情的预测持续时间为 106 天，预测 SARS 患者累计 2514 人，

与实际情况比较吻合.

应用 SARS 传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论：“早

发现，早隔离”能有效减少累计患病人数；“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间.

在建立模型的过程中发现，需要认清 SARS 传播机理，获得真实有效的数据.而题目

所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来不小的困难.

本文分析了海外来京旅游人数受 SARS 的影响，建立时间序列半参数回归模型进行

了预测，估算出 SARS 会对北京入境旅游业造成 23.22 亿元人民币损失，并预计北京海

外旅游人数在 10 月以前能恢复正常.

最后给当地报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性.

1．问题的重述

SARS（严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）的爆发和蔓延使我们认识到，

定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件，具有很高的重要性.

现需要做以下工作：

（1）对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性.

（2）建立自己的模型，说明优于早期模型的原因；说明怎样才能建立一个真正

能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样做的困难；评价

卫生部门采取的措施，如：提前和延后 5 天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播的影

响.

（3）根据题目提供的数据建立相应的数学模型，预测 SARS 对社会经济的影响.

（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性.

2．早期模型的分析与评价

题目要求建立 SARS 的传播模型，整个工作的关键是建立真正能够预测以及能为预

防和控制提供可靠、足够的信息的模型.如何结合可靠、足够这两个要求评价一个模型

的合理性和实用性，首先需要明确：

合理性定义要求模型的建立有根据，预测结果切合实际.

实用性定义要求模型能全面模拟真实情况，以量化指标指导实际.

所以合理的模型能为预防和控制提供可靠的信息；实用的模型能为预防和控制提供

足够的信息.

2.1 早期模型简述

早期模型是一个 SARS 疫情分析及疫情走势预测的模型，该模型假定初始时刻的病

例数为

，平均每病人每天可传染

个人（

一般为小数），

代表某种社会环境下

一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关.

整个模型的

值从开始到高峰期间保持不变，高峰期后 10 天的范围内

值逐步被调整

到比较小的值，然后又保持不变.

平均每个病人可以直接感染他人的时间为

天.整个模型的

一直被定为 20.则在

天之内，病例数目的增长随时间

(单位天)的关系是：

kNtN )1()(



考虑传染期限

的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢.采用半模拟

循环计算的办法，把到达

天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉.

2.2 早期模型合理性评价

根据早期模型对北京疫情的分析与预测，其先将北京的病例起点定在 3 月 1 日，经

过大约 59 天在 4 月 29 日左右达到高峰，然后通过拟合起点和 4 月 20 日以后的数据定

出高峰期以前的

=0.13913.高峰期后的

值按香港情况变化，即 10 天范围内

值逐步

被调整到 0.0273.L 恒为 20.由此画出北京 3 月 1 日至 5 月 7 日疫情发展趋势拟合图像以

及 5 月 7 日以后的疫情发展趋势预测图像，如图 1. 从图 1 可以看出，从 4 月 20 日至 5

月 7 日模型计算值与同期实际值的拟合程度比较好，但 5 月 7 日后模型计算值（即预测

值）随着日期的增长逐渐偏离实际值.

为了进一步验证上述分析，对模型计算值曲线和实际值进行残差分析，记

表示

第 i 天实际累计病例，

表示第 i 天计算累计病例.计算

际数据处理，这必然导致模型解出现偏差，且解的实际意义不明确.对于这一点，我们

将在建立自己的模型时重点关注！

2.3 早期模型实用性评价

模型的实用性关注的是模型能否真实全面的模拟真实情况，从而用模型指导实际.

这里主要抓住早期模型的参数设置情况进行实用性评价：

1 该模型简单地以高峰期作为分析的临界点，这似乎对 SARS 发展的阶段没有了解

透彻.同时，模型没有提出高峰期的确定方法，整个模型的建立必须有实际高峰期附近

数据的支撑.如果仅有疫情爆发初期的数据，该模型就无法预测出疫情中后期发展的趋

势，模型的实际应用范围受到限制.

2参数

代表某种社会环境下一个病人每天传染他人的人数，与全社会的警觉程度、

政府和公众采取的各种措施有关.在初期，该模型将

固定在一个比较高的定值，在疫

情高峰期过后，在 10 天内逐步调整

值到比较小，然后保持不变.但模型并没有给出

值的具体算法，只是不断地进行人工调整，具有一定的主观性.同时沿用了香港疫情分

析中的数据来预测北京的情况，可见该模型未对北京的实际情况进行充分的考虑.

3参数

代表平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，在此期限后失

去传染作用，可能的原因是被严格隔离、病愈不再传染和死去等等.该模型把

的值固

定为 20，而实际的

应该随疫情发展趋势变化而变化，固定

势必使模型只能片面模拟

真实情况.

综上，早期模型的一部分分析脱离了实际，而且在整个模型的建立和求解中人工干

预过多，实际应用范围受到了限制，实用性不强.

3． SARS 传播过程的分析

由于早期模型缺少对 SARS 传播过程的系统分析，所以，要建立真正能预测病情发

展的模型，应该首先对整个传播过程有一个全面而详尽的分析.

SARS 的传播大致经历了 4 个过程，相关描述可按照 Kink 于 1986 年提出的危机“四

阶段说”.

第一阶段是征兆期.在 SARS 传播初期，由于 SARS 感染者需要经历一定时间才表现

出临床症状，所以在病毒实际上已经广泛传播的情况下，政府和公众并未引起注意.在

这个时期，携带病毒的传播源没受到控制，平均传播期长，但整个社会的发病率还较低.

第二阶段是迅速爆发期和蔓延期.当公众发现感染者不断增加时，恐慌情绪增加，

政府随即采取多种措施，但由于对病毒传播的特点不清楚，并未收到预期效果.在这个

时期，传播源的平均传播期依然较长，整个社会的发病率突然猛增.

第三个阶段是高峰期.当高强度的措施实施后，病毒扩散速度实际已经被控制，发

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