非线性模型及其解法最小二乘法_非线性最小二乘法spss

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在测量数据处理中，线性观测方程一般形式为：

iititiiii

bxbxbxbL 

0221

...

(

ni ,...,2,1

)

其矩阵形式为：（此处 L 相当于 y y = x1*b1 + x2*b2 +… + xt*bt + b0 + E y 为可观测的随机变

量，x 为可观测的已知变量，E 为不可观测的随机误差项，b 为未知参数 y = f(x,θ ）+E--韦博

成近代非线性回归分析



BBXL

式中：

LLLL )..(

　　．　

为

1n

的观测向量，

为观测向量的个数；X 为 t*1 的未知

参数向量；t 为必要观测的个数；

BBBB )..(

002010

　　．　

为

1n

的常数向量。

)..(

 　　．　

为

1n

的观测误差向量；B 为 n*t 的设计矩阵，即：















ntnn

bbb

...

::::

...

22221

11211

一般的 L 表示 n*1 的观测向量，用 X 表示 t*1 的未知参数向量，用



表示 n*1 的观测误差向

量，则非线性方程可写为：

 )(XfL

（1）

式中，

XfXfXfXf ))(..)()(()(

　　．　

，是由 n 个 X 的非线性函数组成的 n*1 的

向量，上述模型即为一般非线性模型。

为了推导公式方便，不失一般性，设 L 为同精度独立观测量。

关于模型（1）的参数估计，传统的方法是将其线性化，即将（1）式在参数的近似值 X0 出

展开为泰勒级数，并仅取至一次项，然后在应用新型模型参数估计理论进行参数估计。将非

线性模型（1）式线性化，因略去二阶以上各高次项，得到的仅含一次项的线性模型显然是

原模型的近似模型。因此，由于非线性近似后的线性模型是近似模型，所以线性近似必然会

产生模型误差。

非线性最小二乘估计的定义及存在性定理：

非线性模型（1）式相应的误差方程为：

LXfV  )

(

（2）

于是残差平方和为：

))

(())

(()

(

LXfLXfLXfVVV



（3）

测量中，观测值常常有不同精度，甚至有相关观测量，但根据等价观测理论，这些观测值都

可以变换为独立观测量，所以采用同精度观测讨论问题。

定义 1：

非线性模型（1）式中参数 X 的一个估计

，若满足下列关系：

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