微分几何彭家贵课后题答案.pdf
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更新于2023-03-16
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收藏 500KB PDF 举报 微分几何是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面
1
习题一（P13）
2.设
()at
是向量值函数，证明：
（1）
a
常数当且仅当
( ), ( ) 0a t a t
；
（2）
()at
的方向不变当且仅当
( ) ( ) 0a t a t
。
（1）证明：
a
常数
2
a
常数
( ), ( )a t a t
常数
( ), ( ) ( ), ( ) 0a t a t a t a t
2 ( ), ( ) 0a t a t
( ), ( ) 0a t a t
。
（2）注意到：
( ) 0at
，所以
()at
的方向不变
单位向量
()
()
()
at
et
at
常向量。
若单位向量
()
()
()
at
et
at
常向量，则
( ) 0 ( ) ( ) 0e t e t e t
。
反之，设
()et
为单位向量，若
( ) ( ) 0e t e t
，则
( ) / / ( )e t e t
。
由
()et
为单位向量
( ), ( ) 1 ( ), ( ) 0e t e t e t e t
( ) ( )e t e t
。
从而，由
( ) / / ( )
( ) 0 ( )
( ) ( )
e t e t
e t e t
e t e t
常向量。
所以，
()at
的方向不变
单位向量
()
()
()
at
et
at
常向量
( ) ( ) 1
( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( )
a t a t d
e t e t a t
a t a t dt a t
2
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
()
d
a t a t a t a t
dt a t a t
at
( ) ( ) 0a t a t
。即
()at
的方向不变当且仅当
( ) ( ) 0a t a t
。
补充：
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2020-03-17 上传
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