微分几何彭家贵课后题答案.pdf_微分几何

微分几何

习题答案

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习题一（P13）

2.设

()at

是向量值函数，证明：

（1）

a 

常数当且仅当

( ), ( ) 0a t a t





；

（2）

()at

的方向不变当且仅当

( ) ( ) 0a t a t





。

（1）证明：

a 

常数



a 

常数



( ), ( )a t a t 

常数



( ), ( ) ( ), ( ) 0a t a t a t a t



    



2 ( ), ( ) 0a t a t



 



( ), ( ) 0a t a t



 

。

（2）注意到：

( ) 0at 

，所以

()at

的方向不变



单位向量

()



常向量。

若单位向量

()



常向量，则

( ) 0 ( ) ( ) 0e t e t e t



   

。

反之，设

()et

为单位向量，若

( ) ( ) 0e t e t





，则

( ) / / ( )e t e t



。

由

()et

为单位向量



( ), ( ) 1 ( ), ( ) 0e t e t e t e t



   



( ) ( )e t e t





。

从而，由

( ) / / ( )

( ) 0 ( )

( ) ( )

e t e t







   









常向量。

所以，

()at

的方向不变



单位向量

()



常向量



( ) ( ) 1

( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( )

a t a t d

e t e t a t

a t a t dt a t





     





   

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

()

a t a t a t a t

dt a t a t



    

( ) ( ) 0a t a t



  

。即

()at

的方向不变当且仅当

( ) ( ) 0a t a t





。

补充：

定理

()rt

平行于固定平面



的充要条件是

 

( ), ( ), ( ) 0r t r t r t

 



。

证明：

""

：若

()rt

平行于固定平面



，设

是平面



的法向量，为一常向量。

于是，

( ), 0 ( ), 0, ( ), 0r t n r t n r t n

 

     

( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) 0r t r t r t r t r t r t

   

  共面

。

""

：若

 

( ), ( ), ( ) 0r t r t r t

 



，则

( ), ( ), ( )r t r t r t

 

共面

。若

( ) ( ) 0r t r t





则

()rt

方向固定，从而平行于固定平面



。

若

( ) ( ) 0r t r t





，则

( ) ( ) ( )r t r t r t



 



。令

( ) ( ) ( ),n t r t r t





则

 

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0 ( ) 0

( ) ( ) ( )

n t r t r t r t r t

r t r t r t t r t t r t

t r t r t t n t

n t n t n t

n t n t r t





   

   

 

    



  



   



，又

有固定的方向，又



()rt平行于固定平面。

3.证明性质 1.1 与性质 1.2。

性质 1.1（1）证明：设

1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 2 3 1 2 3

( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )v x x x v y y y v z z z v v w w w    

，

则

 

2 3 3 1

2 3 1 2 3 1 2 3

2 3 3 1

1 2 3

, , , ,

i j k

y y y y

v v y y y w w w

z z z z

z z z



   





 

1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1

2 3 3 1

1 2 3 1 2 3

2 3 3 1

1 2 3

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 1 2 2 1 3 3 1 1 3 3 2 3 3 2 1 1 2 2 1 1 3 1 1

, , ,

= ( ) , ,

[ ] [ ], [ ] [ ], [

w y z y z w y z y z w y z y z

i j k

x x x x

v v v x x x

w w w w

w w w

x w x w x w x w x w x w

x y z y z x y z y z x y z y z x y z y z x y z y z

      



    





   

       

左

 

   

3 2 2 3 3 2

2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 3 3 1 1 2 3 3 1 1 2 1 1 2 2 3 1 1 2 2 3

2 2 3 3 1 3 3 1 1 2 1 1 2 2 3 2 2 3 3 1 3 3 1 1 2 1 1 2 2 3

2 2 3 3 1 1

] [ ]

[ ] [ ] ,[ ] [ ] ,[ ] [ ]

[ ] ,[ ] ,[ ] [ ] ,[ ] ,[ ]

[

x y z y z

x z x z y x y x y z x z x z y x y x y z x z x z y x y x y z

x z x z y x z x z y x z x z y x y x y z x y x y z x y x y z

x z x z x z



         

       

  

 

   

1 3 3 1 1 2 2 2 1 1 2 2 3 3 3

2 2 3 3 1 1 1 3 3 1 1 2 2 2 1 1 2 2 3 3 3

1 1 2 2 3 3 1 2 3 2 2 3 3 1 1 1 2 3

1 3 2 1 2 3

] ,[ ] ,[ ]

[ ] ,[ ] ,[ ]

[ ] , , [ ] , ,

y x z x z x z y x z x z x z y

x y x y x y z x y x y x y z x y x y x y z

x z x z x z y y y x y x y x y z z z

v v v v v v

   

      

     

      右

（2）证明：设

1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 4 1 2 3

( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )v x x x v y y y v z z z v w w w   

，则

 

2 3 3 1

1 2 1 2 3 1 2 3

2 3 3 1

1 2 3

1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1

2 3 3 1

3 4 1 2 3 1 2 3

2 3 3 1

1 2 3

1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2

, , , ,

, , .

, , , ,

i j k

x x x x

v v x x x X X X

y y y y

y y y

X x y x y X x y x y X x y x y

i j k

z z z z

v v z z z Y Y Y

w w w w

w w w

Y z w z w Y z w z w Y z w



   





      



   





     

1 2 3 4 1 1 2 2 3 3

2 3 3 2 2 3 3 2 3 1 1 3 3 1 1 3 1 2 2 1 1 2 2 1

2 2 3 3 2 2 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 2 2

2 2 3 3 2 2 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3

( )( ) ( )( ) ( )( )

[]

[

v v v v X Y X Y X Y

x y x y z w z w x y x y z w z w x y x y z w z w

x z y w y w x z y w x z x z y w x z y w y w x z

x w y z y z x w y z x w x z y w



      

        

     

    

左

1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 2 2

]

[( ) ]

(

x w y z x w y z y z x w

x y z w x y z w x y z w x z y w y w x z y w x z x z y w x z y w y w x z

x y z w x y z w x y z w x w y z y z x w y z x w x w y z x w y z y z x w



        

        



1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

1 3 2 4 1 4 2 3

)( ) ( )( )

= , ,

z x z x z y w y w y w x w x w x w y z y z y z

v v v v v v v v

        

         右

（3）证明：设

1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3

( , , ), ( , , ), ( , , ),v x x x v y y y v z z z  

，则

 

2 3 3 1

1 2 1 2 3 1 2 3

2 3 3 1

1 2 3

1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1

3 1 2 3 1 2 1 1 2 2 3 3

1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1

1 2 3 1 2 3 1 2

, , , ,

, , ,

( ) ( ) ( )

(

i j k

x x x x

v v x x x X X X

y y y y

y y y

X x y x y X x y x y X x y x y

v v v v v v z X z X z X

z x y x y z x y x y z x y x y

z x y y z x x y z



   





      

     

     

  

3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

) ( )z y x x z y y x z  

同理，

 

2 3 3 1

3 1 1 2 3 1 2 3

2 3 3 1

1 2 3

1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1

2 3 1 2 3 1 1 1 2 2 3 3

1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1

1 2 3 1 2 3 1 2

, , , ,

, , ,

( ) ( ) ( )

(

i j k

z z z z

v v z z z Y Y Y

x x x x

x x x

Y z x z x Y z x z x Y z x z x

v v v v v v yY y Y y Y

y z x z x y z x z x y z x z x

z x y y z x x y z



   





      

     

     

  

 

3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2

) ( ) , ,z y x x z y y x z v v v   

 

2 3 3 1

2 3 1 2 3 1 2 3

2 3 3 1

1 2 3

1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3

1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1

1 2 3 1 2 3 1 2

, , , ,

, , ,

( ) ( ) ( )

(

i j k

y y y y

v v y y y Z Z Z

z z z z

z z z

Z y z y z Z y z y z Z y z y z

v v v v v v x Z x Z x Z

x y z y z x y z y z x y z y z

z x y y z x x y z



   





      

     

     

  

 

3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2

) ( ) , ,z y x x z y y x z v v v   

所以，

     

1 2 3 3 1 2 2 3 1

, , , , , ,v v v v v v v v v

。

性质 1.2

证明：（1）

( ) ( , , )

i j k

fff

x y z x y z

fff

x y z

     

      

     



  

2 2 2 2 2 2

, , (0,0,0) 0.

f f f f f f

y z z y z x x z x y y x

f f f f f f

y z z y z x x z x y y x



   

           

       

   



   

       

           

       

   





     

     



           



证明：（2）

i j k

x y z

P Q R

  

      

  

, , ,

R Q P R Q P

y z z x x y



     

     



     



2 2 2 2 2 2

R Q P R Q P

x y z y z x z x y

R Q P R Q P

x y x z y z y x z x z y

   

        



     

   



        



   

     

      

           

4.设

 

1 2 3

; , ,O e e e

是正交标架，



是

 

1,2,3

的一个置换，证明：

（1）

 

(1) (2) (3)

; , ,O e e e

  

是正交标架；

（2）

 

1 2 3

; , ,O e e e

与

 

(1) (2) (3)

; , ,O e e e

  

定向相同当且仅当



是一个偶置换。

（1）证明：当

ij

时，

( ) ( )ij



 

( ) ( )



 

；

当

ij

时，

( ) ( )ij





( ) ( )



 

，

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