MIT线性代数导论第5版课后习题详解与解答

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本资源是《线性代数导论》第五版的课后答案，由著名数学家吉尔伯特·斯特兰（Gilbert Strang）编撰，适用于麻省理工学院（MIT）的课程18.06线性代数。该书提供详尽的解答，覆盖了教材中的各个章节习题，包括但不限于： 1. 第一个问题组涉及线性和向量空间的概念，其中解释了不同向量组合如何代表： - (a) 在三维空间R3中的一条直线 - (b) R3中的一个平面 - (c) 整个三维空间 2. 解答说明了如何通过两个向量v和w来确定它们构成的平行四边形的对角线以及边的关系，这有助于理解向量加减与几何图形的关系。 3. 第三个问题要求在已知对角线v+w和v-w的情况下，找出对应的平行四边形的边，这是对向量表示几何形状的进一步应用。 4. 更深入地讨论了线性方程组，如3v+w=(7,5)和cv+dw=(2c+d,c+2d)，这里强调了系数如何影响解的存在性，即当系数满足特定条件时，方程有唯一解，反之则可能无解。 5. 解答还涉及向量的线性组合，如u+v=(−2,3,1)、u+v+w=(0,0,0)和2u+2v+w，展示了向量之间的关系，以及如何利用线性组合来确定向量在平面上的位置。 6. 对于题目中提到的cv+dw=（常数，常数，常数），它展示了向量的分量性质，即分量和等于零意味着向量的线性组合结果为零。这不仅测试了线性代数的基础运算，还涉及到向量空间的封闭性。通过这些解答，学习者能够深化理解线性代数的基本概念、向量运算、矩阵理论以及线性方程组的求解技巧，对于提高解决实际问题的能力具有重要作用。此资源适合自学者查阅验证答案，也便于教师进行教学参考和辅导学生。

Solutions to Exercises

14 Subtract 2 times row 1 from row 2 to reach (d−10)y−z = 2. Equation (3) is y−z = 3.

If d = 10 exchange rows 2 and 3. If d = 11 the system becomes singular.

15 The second pivot position will contain −2 − b. If b = −2 we exchange with row 3.

If b = −1 (singular case) the second equation is −y − z = 0. But equation (3) is the

same so there is a line of solutions (x, y, z) = (1, 1, −1).

16 (a)

Example of

2 exchanges

0x + 0y + 2z = 4

x + 2y + 2z = 5

0x + 3y + 4z = 6

(exchange 1 and 2, then 2 and 3)

(b)

Exchange

but then

breakdown

0x + 3y + 4z = 4

x + 2y + 2z = 5

0x + 3y + 4z = 6

(rows 1 and 3 are not consistent)

17 If row 1 = row 2, then row 2 is zero after the ﬁrst step; exchange the zero row with row

3 and row 3 has no pivot. If column 2 = column 1, then column 2 has no pivot.

18 Example x + 2 y + 3z = 0, 4 x + 8y + 12z = 0, 5x + 10y + 1 5z = 0 has 9 different

coefﬁcients but rows 2 and 3 become 0 = 0: inﬁnitely many solutions to Ax = 0 but

almost surely no solution to Ax = b for a random b.

19 Row 2 becomes 3y − 4z = 5, then row 3 becomes (q + 4)z = t − 5. If q = −4 the

system is singular—no third pivot. Then if t = 5 the third equation is 0 = 0 which

allows inﬁnitely many solutions. Choosing z = 1 the equation 3y −4z = 5 gives y = 3

and equation 1 gives x = −9.

20 Singular if row 3 is a combination of rows 1 and 2. From the end view, the three planes

form a triangle. This happens if rows 1+2=row 3 on the left side but not the right side:

x+y +z = 0, x−2y −z = 1, 2x−y = 4. No parallel planes but still no solution. The

three planes in the row picture form a triangular tunnel.

21 (a) Pivots 2,

in the equations 2x + y = 0,

y + z = 0,

z + t = 0,

t = 5

after elimination. Back substitution gives t = 4, z = −3, y = 2, x = −1. (b) If

the off-diagonal entries change from +1 to −1, the pivots are the same. The solution is

(1, 2, 3, 4) instead of (−1, 2 , −3, 4).

22 The ﬁfth pivot is

for both matrices (1’s or −1’s off the diagonal). The nth pivot is

n+1

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