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首页背包问题九讲(ACM好东西)
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P01: 01 背包问题................................................................................................................................2
题目.............................................................................................................................................2
基本思路.....................................................................................................................................2
优化空间复杂度.........................................................................................................................2
初始化的细节问题.....................................................................................................................3
一个常数优化.............................................................................................................................4
小结.............................................................................................................................................4
P02: 完全背包问题.............................................................................................................................4
题目.............................................................................................................................................4
基本思路.....................................................................................................................................5
一个简单有效的优化.................................................................................................................5
转化为 01 背包问题求解...........................................................................................................5
O(VN)的算法..............................................................................................................................6
总结.............................................................................................................................................7
P03: 多重背包问题.............................................................................................................................7
题目.............................................................................................................................................7
基本算法.....................................................................................................................................7
转化为 01 背包问题...................................................................................................................7
O(VN)的算法..............................................................................................................................8
小结.............................................................................................................................................8
P04: 混合三种背包问题....................................................................................................................8
问题.............................................................................................................................................8
01 背包与完全背包的混合........................................................................................................9
再加上多重背包.........................................................................................................................9
小结.............................................................................................................................................9
P05: 二维费用的背包问题..............................................................................................................10
问题...........................................................................................................................................10
算法...........................................................................................................................................10
物品总个数的限制...................................................................................................................10
复数域上的背包问题...............................................................................................................10
小结...........................................................................................................................................11
P06: 分组的背包问题.......................................................................................................................11
问题...........................................................................................................................................11
算法...........................................................................................................................................11
小结...........................................................................................................................................11
P07: 有依赖的背包问题..................................................................................................................12
简化的问题...............................................................................................................................12
算法...........................................................................................................................................12
较一般的问题...........................................................................................................................12
小结...........................................................................................................................................13
P08: 泛化物品...................................................................................................................................13
定义...........................................................................................................................................13
泛化物品的和...........................................................................................................................14
背包问题的泛化物品...............................................................................................................14
小结...........................................................................................................................................15
P09: 背包问题问法的变化..............................................................................................................15
输出方案...................................................................................................................................15
输出字典序最小的最优方案...................................................................................................16
求方案总数...............................................................................................................................16
最优方案的总数.......................................................................................................................17
求次优解、第 K 优解..............................................................................................................17
小结...........................................................................................................................................18
P01: 01 背包问题
题目
有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。第 i 件物品的费用是 c[i],价值是 w[i]。
求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
基本思路
这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。
用子问题定义状态:即 f[i][v]表示前 i 件物品恰放入一个容量为 v 的背包可以
获得的最大价值。则其状态转移方程便是:
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。
所以有必要将它详细解释一下:“将前 i 件物品放入容量为 v 的背包中”这个子问
题,若只考虑第 i 件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯
前 i-1 件物品的问题。如果不放第 i 件物品,那么问题就转化为“前 i-1 件物品放
入容量为 v 的背包中”,价值为 f[i-1][v];如果放第 i 件物品,那么问题就转化
为“前 i-1 件物品放入剩下的容量为 v-c[i]的背包中”,此时能获得的最大价值就
是 f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第 i 件物品获得的价值 w[i]。
优化空间复杂度
以上方法的时间和空间复杂度均为 O(VN),其中时间复杂度应该已经不能再优
化了,但空间复杂度却可以优化到 O。
先考虑上面讲的基本思路如何实现,肯定是有一个主循环 i=1..N,每次算出来
二维数组 f[i][0..V]的所有值。那么,如果只用一个数组 f[0..V],能不能保证
第 i 次循环结束后 f[v]中表示的就是我们定义的状态 f[i][v]呢?f[i][v]是由 f[i-
1][v]和 f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来,能否保证在推 f[i][v]时(也即在第
i 次主循环中推 f[v]时)能够得到 f[i-1][v]和 f[i-1][v-c[i]]的值呢?事实上,这
要求在每次主循环中我们以 v=V..0 的顺序推 f[v],这样才能保证推 f[v]时 f[v-
c[i]]保存的是状态 f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下:
for i=1..N
for v=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
其中的 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程 f[i]
[v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]},因为现在的 f[v-c[i]]就相当于原来的 f[i-
1][v-c[i]]。如果将 v 的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话,那么则成了 f[i]
[v]由 f[i][v-c[i]]推知,与本题意不符,但它却是另一个重要的背包问题 P02
最
简捷的解决方案,故学习只用一维数组解 01 背包问题是十分必要的。
事实上,使用一维数组解 01 背包的程序在后面会被多次用到,所以这里抽象
出一个处理一件 01 背包中的物品过程,以后的代码中直接调用不加说明。
过程 ZeroOnePack,表示处理一件 01 背包中的物品,两个参数
cost、weight 分别表明这件物品的费用和价值。
procedure ZeroOnePack(cost,weight)
for v=V..cost
f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}
注意这个过程里的处理与前面给出的伪代码有所不同。前面的示例程序写成
v=V..0 是为了在程序中体现每个状态都按照方程求解了,避免不必要的思维复
杂度。而这里既然已经抽象成看作黑箱的过程了,就可以加入优化。费用为
cost 的物品不会影响状态 f[0..cost-1],这是显然的。
有了这个过程以后,01 背包问题的伪代码就可以这样写:
for i=1..N
ZeroOnePack(c[i],w[i]);
初始化的细节问题
我们看到的求最优解的背包问题题目中,事实上有两种不太相同的问法。有的
题目要求“恰好装满背包”时的最优解,有的题目则并没有要求必须把背包装满。
一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。
如果是第一种问法,要求恰好装满背包,那么在初始化时除了 f[0]为 0 其它
f[1..V]均设为-∞,这样就可以保证最终得到的 f[N]是一种恰好装满背包的最优
解。
如果并没有要求必须把背包装满,而是只希望价格尽量大,初始化时应该将
f[0..V]全部设为 0。
为什么呢?可以这样理解:初始化的 f 数组事实上就是在没有任何物品可以放
入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满,那么此时只有容量为 0 的背包
可能被价值为 0 的 nothing“恰好装满”,其它容量的背包均没有合法的解,属
于未定义的状态,它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满,那么
任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”,这个解的价值为 0,所以初始时
状态的值也就全部为 0 了。
这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题,后面也就不再对进行状态转
移之前的初始化进行讲解。
一个常数优化
前面的伪代码中有 for v=V..1,可以将这个循环的下限进行改进。
由于只需要最后 f[v]的值,倒推前一个物品,其实只要知道 f[v-w[n]]即可。以
此类推,对以第 j 个背包,其实只需要知道到 f[v-sum{w[j..n]}]即可,即代码
中的
for i=1..N
for v=V..0
可以改成
for i=1..n
bound=max{V-sum{w[i..n]},c[i]}
for v=V..bound
这对于 V 比较大时是有用的。
小结
01 背包问题是最基本的背包问题,它包含了背包问题中设计状态、方程的最基
本思想,另外,别的类型的背包问题往往也可以转换成 01 背包问题求解。故
一定要仔细体会上面基本思路的得出方法,状态转移方程的意义,以及最后怎
样优化的空间复杂度。
P02: 完全背包问题
题目
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