离散正交变换导论
第十一章 离散沃尔什变换及其快速算法
第一节 沃尔什级数表示
全体沃尔什函数 ",2,1,0 )},,({ =kkWal
θ
以及它的子集 都形
成群，并且是可交换群。这说明它们满足封闭性的条件。它们还满足完备性条件。
12,,2,1,0 )},,({ −=
p
kkWal "
θ
一个绝对可积信号 x(t)，即 ∞<
∫
∞
0
)( dttx 可以展开成完备的正交函数系的级数：
∑
∞
=
=
0
),()()(
n
tnnatx
ϕ
∫
=
b
a
t
t
dttntxna ),()()(
ϕ
即广义傅里叶级数，其中
{}
),( tn
ϕ
为任意正交函数系。
因为沃尔什函数也是完备的正交函数系，那么满足条件的连续函数 x(t)也能展开成沃尔什
级数。为了方便，我们把 x(t)定义在归一化的半开区间 上，以
)1,0[ )(
θ
x
表示，则
∑
∞
=
=
0
),()(
k
Wk
kWaldx
θθ
(11.1)
",2,1,0 ),()(
1
0
==
∫
kdkWalxd
Wk
θθθ
(11.2)
使用沃尔什排列的 ),(
θ
kWal
W
，有下列关系
()
(
)
() ()
⎭
⎬
⎫
−==
==
12 ,,
2 ,,
ikiSalkWal
ikiCalkWal
W
W
θθ
θθ
其中 i 为 ),(
θ
kWal
W
的归一化列率
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
=
为奇数
为偶数
kk
kk
k
i
2)1(
2
0 0
所以(11.1)式变成
∑
∞
=
++=
1
0
)],(),([),0()(
i
ii
iSalbiCalaCalax
θθθθ
(11.3)
式中
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−==
==
==
12
2
0
00
ikdb
ikda
kda
ki
ki
有限项级数展开式：
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