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离散数学期末考试试题(有几套带答案).doc

离散数学

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本专栏存放离散数学习题考试复习题，离散数学复习提纲(1-457章)，供广大师生一起学习交流学习

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离散试卷及答案

离散数学试题(A 卷及答案）

一、证明题（10 分）

1)(P∧(Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R) R

证明: 左端(P∧Q∧R)∨((Q∨P)∧R)((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)

((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)((P∨Q)∨(Q∨P))∧R

((P∨Q)∨(P∨Q))∧RT∧R(置换)R

2)x(A(x)B(x)) xA(x)xB(x)

证明：

x(A(x)B(x))x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)xA(x)∨xB(x)xA(x)

xB(x)

二、求命题公式(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10

分）

证明：(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))

（P∧(Q∨R)）∨(P∧Q∧R)

(P∧Q)∨(P∧R))∨(P∧Q∧R)

(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R))

∨(P∧Q∧R)

m0∨m1∨m2∨m7

M3∨M4∨M5∨M6

三、推理证明题（10 分）

第 1 页共 26 页

离散试卷及答案

1） C∨D, (C∨D) E,

E(A∧B),

(A∧B)(R∨S)R∨S

证明：(1) (C∨D)E

(2) E(A∧B)

(3) (C∨D)(A∧B)

(4) (A∧B)(R∨S)

(5) (C∨D)(R∨S)

(6) C∨D

(7) R∨S

x(P(x)Q(y)∧R(x)) ，  xP(x)Q

(y)∧x(P(x)∧R(x))

证明（1）xP(x)

(2)P(a)

(3)x(P(x)Q(y)∧R(x))

(4)P(a)Q(y)∧R(a)

(5)Q(y)∧R(a)

(6)Q(y)

(7)R(a)

(8)P(a)

(9)P(a)∧R(a)

(10)x(P(x)∧R(x))

(11)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))

第 2 页共 26 页

离散试卷及答案

四、设 m 是一个取定的正整数，证明：在任取 m＋1 个整数中，至少有两个

整数，它们的差是 m 的整数倍

证明设，，…，为任取的 m＋1 个整数，用 m 去除它们所得余数

只能是 0，1，…，m －1，由抽屉原理可知，，，…，这 m＋1 个

整数中至少存在两个数和，它们被 m 除所得余数相同，因此和的

差是 m 的整数倍。

五、已知 A、B、C 是三个集合，证明 A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) （15 分）

证明 ∵x A-（B∪C） x A∧x（B∪C） x A∧（xB∧xC）

（x A∧xB）∧（x A∧xC） x（A-B）∧x（A-C） x （A-

B）∩（A-C）∴A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C）

六、已知 R 、 S 是 N 上的关系，其定义如下： R={<x,y>|

x,yN∧y=x

} ， S={<x,y>| x,yN∧y=x+1} 。求 R

、R*S、S*R、R {1,2}、S[{1,2}]（10 分）

解： R

-1

={<y,x>| x,yN∧y=x

} ， R*S={<x,y>|

x,yN∧y=x

+1}，S*R={<x,y>| x,yN∧y=（x+1）

}，

七、若 f:A→B 和 g:B→C 是双射，则（gf）

-1

（10 分）。

证明：因为 f、g 是双射，所以 gf：A→C 是双射，所以 gf 有逆函数

（gf）

-1

：C→A。同理可推 f

-1

：C→A 是双射。

因为 <x,y>∈f

-1

 存在 z （ <x,z>∈g

-1

<z,y>∈f

-1

）  存在

z（<y,z>∈f<z,x>∈g）<y,x>∈gf<x,y>∈（gf）

-1

,所以（gf）

-1

。

R {1,2}={<1,1>,<2,4>}，S[{1,2}]={1,4}。

八、（15 分）设<A，*>是半群，对 A 中任意元 a 和 b，如 a≠b 必有

a*b≠b*a，证明：

(1)对 A 中每个元 a，有 a*a＝a。

第 3 页共 26 页

离散试卷及答案

(2)对 A 中任意元 a 和 b，有 a*b*a＝a。

(3)对 A 中任意元 a

、

b 和 c，有 a*b *c＝a*c。

证明由题意可知，若 a*b＝b*a，则必有 a＝b。

(1)由(a*a)*a＝a*(a*a)，所以 a*a＝a。

(2)由 a*(a*b*a)＝(a*a)*(b*a )＝a*b*(a*a)＝(a*b*a)*a，所以有 a *b*a＝a。

(3) 由 (a*c)*(a*b*c) ＝ (a*c*a)*(b*c) ＝ a*(b*c) ＝ (a*b)*c ＝

(a*b)*(c*a*c)＝(a*b*c)*(a*c)，所以有 a*b*c ＝a*c。

九、给定简单无向图 G＝<V，E>，且|V|＝m，|E|＝n。试证：若 n≥

＋2，则 G 是哈密尔顿图

证明若 n≥ ＋2，则 2n≥m

－3m＋6 （1）。

若存在两个不相邻结点、使得 d( )＋d( )＜m，则有 2n＝＜

m＋(m－2)(m－3)＋m＝m

－3m＋6，与（1）矛盾。所以，对于 G 中任

意两个不相邻结点、都有 d( )＋d( )≥m，所以 G 是哈密尔顿图。

离散数学试题(B 卷及答案）

一、证明题（10 分）

1)((P∨Q)∧(P∧(Q∨R)))∨(P∧Q)∨(P∧R)T

证明左端  ((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨((P∨Q)∧(P∨R))( 摩根律 ) 

((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))( 分配律 ) 

((P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律)  T (代入)

2)x(P(x)Q(x))∧xP(x)x(P(x)∧Q(x))

证明

 x(P(x)Q(x))∧xP(x)x((P(x)Q(x)∧P(x))x((P(x)∨Q(x)∧P(x))

x(P(x)∧Q(x))xP(x)∧xQ(x)x(P(x)∧Q(x))

二、求命题公式(PQ)(P∨Q) 的主析取范式和主合取范式（10 分）

解：

(PQ)(P∨Q)(PQ)∨(P∨ Q)(P∨Q)∨(P∨Q)(P∧Q)∨(P∨

第 4 页共 26 页

离散试卷及答案

Q) (P∨P∨Q)∧(Q∨P∨Q)(P∨Q)M1m0∨m2∨m3

三、推理证明题（10 分）

第 5 页共 26 页

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本本纲目

2023-07-26

这份离散数学期末考试试题是我见过的最全面的，非常详尽。

java.lang.Exception: Cannot detect current file type at com.spire.doc.Document.spr↡⌺–(Unknown Source) at com.spire.doc.Document.spr∯⌺–(Unknown Source) at com.spire.doc.Document.<init>(Unknown Source)

根据错误信息，看起来是在创建`Document`对象时出现了问题。异常信息提示无法检测到当前文件类型。这可能是由于以下原因之一导致的： 1. 文件链接中的某个文件无效或不存在。...如果您有更多的问题，请随时提问！

spire.doc 水印

Spire.Doc.Document document = new Spire.Doc.Document(); document.LoadFromFile("example.docx"); Spire.Doc.Watermark watermark = new Spire.Doc.Watermark(); watermark.Text = "水印示例"; watermark....

Spire.Doc python 去水印

doc.load_from_file("input.docx") # 遍历文档内容，删除水印 for section in doc.sections: for paragraph in section.paragraphs: for run in paragraph.runs: if "水印" in run.text: paragraph.remove(run)...

import com.spire.doc.Document; 依赖

使用Spire.Doc实现Word中嵌入附件需要引入Spire.Doc的依赖包。您可以在Spire官网下载最新版本的Spire.Doc并引入依赖包，或者使用Maven或Gradle等构建工具进行管理。如果您使用Maven进行管理，可以在`pom.xml`文件...

spire.doc.jar下载

最重要的是，Spire.doc.jar框架有一个活跃的开发者社区，开发者可以从社区中获取最新的开发技巧和实践经验，同时还可以与其他开发者进行交流和分享自己的经验。总体来说，Spire.doc.jar框架简单易用，功能强大，具有...

spire.doc.free如何使用

spire.doc.free是一款功能强大的免费文档处理库，主要用于在Microsoft Office文档中进行操作。它支持处理各种类型的文档，如Word、Excel和PowerPoint等。使用spire.doc.free非常简便，只需按照以下步骤进行操作。 ...

spire.doc.dll 无水印

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com.spire.doc是一款用于Java开发的文档操作包。我们可以通过jar文件的形式进行下载和使用。要下载com.spire.doc jar文件，我们可以按照以下步骤操作： 1. 打开浏览器，并访问Spire官方网站（www.e-iceblue.cn）...

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具体实现方法是读取.doc文件内容并检查其中是否有任何字符，如果没有则该文件为空。需要注意的是，有些.doc文件可能只包含空格或其他特殊字符，这些字符也会被计算在内。因此，需要检查的是是否存在任何实际的文本...

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spire.doc.free-5.2.0.jar是免费的版本，在使用上有一些限制，例如只支持读取和创建文档，但不支持修改已有文档。这个版本可以用于小规模的个人或小型团队的文档处理需求，同时也可以用于教学和学习目的。除了免费...

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