[收稿日期] 2018-02-10
[基金项目] 山东省教育科学“ 十二五冶规划课题(ZBS15003)
[作者简介] 杨树林(1975—),男,陕西吴起人,中国石油大学胜利学院教学科研处副教授,硕士,主要从事数字图像处理研究。
doi:10. 3969 / j. issn. 1673鄄5935. 2018. 02. 013
一斜拉桥钢索模型的双曲型偏微分方程
数值解及 Matlab 实现
杨树林
(中国石油大学胜利学院 教学科研处,山东 东营 257061)
[摘摇 要] 摇
对斜拉桥钢索模型进行研究,首先给出定解条件,建立斜拉桥钢索二阶双曲型偏微分方程模
型,其次讨论加权平均格式差分方程解的收敛性,并运用 Matlab 语言对差分方程的数值解进行求解,最后通过将不
同条件下的数值解进行比较确定该模型的模拟程度。 结果表明,在一定范围内当网格比不变时,兹 减小时,数值解
误差减小;当 兹 不变( 即对于同一种差分格式) ,网格比增大时,数值解误差增大,误差阶也增大。
[关键词]摇
双曲型偏微分方程;加权平均格式;收敛性;数值解
[中图分类号]O241摇 摇 [ 文献标识码] A摇 摇 [文章编号]1673鄄5935(2018)02鄄0048鄄03
摇 摇 斜拉桥在桥梁工程领域应用广泛,越来越多地出
现在江河之上,但仍有许多问题有待进一步探索。 例
如,斜拉桥常用张紧的钢索来进行承载、运输和牵引
等作业,而钢索在运营过程中张力会发生改变,导致
受力不均,从而影响整个斜拉桥的质量。 因此,对斜
拉桥钢索模型进行模拟,确定其主要影响因素,对于
工程设施运行的安全和行人的人身安全至关重要。
较之前人对斜拉桥钢索模型进行的研究,笔者从弦振
动的基本理论出发通过建立相应的双曲型偏微分方
程初边值问题的新模型对斜拉桥钢索问题进行深入
探讨。
1摇 模型假设
(1)假设斜拉桥钢索的质量均匀分布;
(2)假设 斜 拉 桥 钢索 上 每 一 小 段 只 有 “ 横 振
动冶,即振动发生在一个平面内,且各点的运动方向
垂直于平衡位置;
(3)假设斜拉桥钢索振动的幅度及任意点切线
的倾角都很小;
(4)假设斜拉桥钢索的初始位移方程接近悬链
线方程
[1]
。
2摇 模型建立
考虑到斜拉桥钢索平衡时沿直线拉紧,除受不
随时间变化的张力和弦本身的重力作用外,不受其
它外力影响
[2]
,可得定解问题为
鄣
2
u
鄣t
2
= a
2
鄣
2
u
鄣x
2
, 0<x<l,t>0;
u(0,t)= 0,u(l,t)= 0, t逸0;
u(x,t)
t = 0
=
q
2
e
x / q
+e
-
( )
x / q
,
鄣u
鄣t
t = 0
= 0,
0臆x臆
ì
î
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
l.
(1)
式中,弦上横坐标为 x 的点在时刻 t 的振动位移为
u,斜拉桥钢索两端分别固定在 x = 0 及 x = l 处,q =
H / 籽g 为悬链系数,与斜拉桥本身的特质有关,H 为
斜拉桥每一点处张力的水平分量
[3]
。
3摇 模型求解
用第 n-1 层,n 层,n+1 层的中心差商的加权平
均去逼近 u
xx
,得到逼近微 分方 程 (1) 的差分格式
如下:
u
n+1
j
-2u
n
j
+u
n-1
j
子
2
= a
[
2
兹
u
n+1
j+1
-2u
n+1
j
+u
n+1
j-1
h
2
+
84
2018 年 6 月 中国石油大学胜利学院学报 Jun. 2018
第 32 卷摇 第 2 期 Journal of Shengli College China University of Petroleum Vol. 32摇 No. 2
评论3