离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（..，简称..），是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域
信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。在形式上，变换两端（时域和
频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即
使对有限长的离散信号作 DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。在实际应
用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算 DFT。
下面给出离散傅里叶变换的变换对：
对于 N 点序列 {x[n ]} 0 ≤ n < N ，它的离散傅里叶变换（DFT）为
⌃
x
[k ] = N - 1
Σ
n = 0 e - i 2 π
– – – – –
N n k x[n ] k = 0,1, …,N-1.
其中 e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。通常以符号 F 表示这一变换，即
⌃
x
= Fx
离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为：
x[n ] = 1
––
N N - 1
Σ
k = 0 e i 2 π
–––––
N nk ⌃
x
[k ] n = 0,1, …,N-1.
可以记为：
x = F -1 ⌃
x
实际上，DFT 和 IDFT 变换式中和式前面乘上的归一化系数并不重要。在上面的定义中，
DFT 和 IDFT 前的系数分别为 1 和 1/N。有时会将这两个系数都改成 1/ √
––
N
，这样就有 x = FFx，即 DFT 成为酉变换。
从连续到离散
连续时间信号 x(t) 以及它的连续傅里叶变换（CT）⌃
x
( ω)
都是连续的。由于数字系统只能处理有限长的、离散的信号，因此必须将 x 和⌃
x
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