3 Affine 仿射
3.1 Points and Frames
点与坐标系
[点与向量]
将点与向量作为两种不同的类型来思考很有帮助。点是在几何体世界中的某个固定
的位置，而向量则描述两点间的运动。我们会使用两种不同符号来区分点和向量。
向量 v 顶部有一个箭头，而点 ˜p 顶部则有波浪线。
如果我们将向量看作两点间的运动，那么向量运算 (加以及与标量的乘法) 就有
了明显的意义。如果我们将两向量相加，我们表示的是两个运动的连接。如果我们
将向量与标量相乘，我们是将该运动以一定系数增大或减小。零向量是一个特殊的
表示没有运动的向量。
这些运算对点来说并没有太多意义。将两个点相加应该得到什么结果 (例如，将
哈佛广场与肯德尔广场相加)？将点与标量乘应该意味着什么？用法 7 乘以南极点应
该意味着什么？存在着一个与其他点不同的零点吗？
有一种两点间的运算确实具有某些层面的意义：减法。当我们将一个点与另一
个点相减时，我们应该得到从第二个点到第一个点的向量。
˜p − ˜q = v
相反，如果我们从一个点开始，沿着某一向量运动，我们应该得到另一个点
˜p + v = ˜p
[仿射变换]
对点进行线性变换是有意义的。例如我们可以将一点绕着某一固定原点旋转。
对于点，位移也是有意义的操作 (位移的概念对向量没有意义)。为了表示位移，我
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