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首页清华大学电子系现代电磁理论作业5
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现代电磁理论—习题五 汪海波 P0915015
金属波导 部分
6-1, 证明关系式,;
从 而 证 明 式 ( 6 - 49 )
和(6-50)
证:(1)由课本公式(6-15):,所以只
有 z 方向的分量,从而。
上式两边同加上=,得到
,而垂直于 z 轴,没有
z 向分量:
所以
(2) 由 法 拉 第 电 磁感 应 微 分 形
式:
,从而
由于公式,得到:
又有: 且,在方向上没有分量(因为)
所以第二个等式成立:
(6-49)
(6-50)
而
(6-50)成立,(6-49)同理可得。
6-2, 证明关系式(6-100)、式( 6-101)和(6-102)
证:(6-100)
ˆ
T z T
T
E e j E
T
T z
E j H
T
T
E
( ) 0
T
T T
E
T
z
e E
z
ˆ
z T
e j E
ˆ
( )
T T
z
T T z T
E e E e j E
z
T
z
e E
z
( )
T T
z z
T
e E e E
z z
ˆ
T z T
T
E e j E
2
( )
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ( ( ) )) )
T Z Z T z T T T z
T
T
T z T T z T z T z z z T z
j E e j H j j H E j H
H
j j H e j E j H k H j e e H e H
z
ˆ ˆ ˆ ˆ
( )
T T
z T z z T z z z
H H
e e H H e e
z z
2 2 2 2
ˆ ˆ ˆ
( ( ( ) )) ) ( )
T T
T z T z z z T z T T
H H
k H j e e H e H k H j k H
z z
( ) 0
T ei T ej
S
dS
(6-101)
(6-102)
波函数在理想波导壁满足的边
界条件:
波函数满足亥姆霍兹,
波函数的正交性:,
(6-100) , 代 入 边
界条件,可以等
到:
由 课 本 (6-71) , (6-72), 显 然 (6-71)
有对偶形式:
,
由此可以得到:,C 是某个系数,
因 此 (6-101),(6-102) 显 然 可 以 得
到。
6-5, 矩形波导有简并模式时,试证明其中一个模式的电场和另一个模式的磁场沿波导截
面传输的功率为零。
解:矩形波导中的简并模式分为以下三种情况:两个 TE 模简并,两个 TM 模简并,一个
TE 模和一个 TM 模简并:
(1)对于矩形波导的 TE 模式:
,如果存在两个简并的模
式,则存在以下等式:
,得到场分量:
,
,
,
,
,
按照第一个模式的电场叉乘第二个模式的,得到的波印庭矢量:
,
因为,场分量
里面的谐函数,
都是互相正交的,所以,上面的积分为 0
(2)对于两个 TM 模式,同上面的推导
(3)第一个 TE 模式,第二个 TM 模式
第一个模式的标量磁位和第二个模式的标量电位是:
( ) ( ) 0
z z
T mi T mj
S
e e dS
( ) 0
z
T mi T ej
S
e dS
0 0
ej
mj
n
2 2
0
T ei c ei
k
2 2
0
T mi c mi
k
ei ej ij
S
dS
mi mj ij
S
dS
2
( )
ej
T ei T ej ei ei T ej
S l S
dS dl dS
n
2
( ) 0 ( )
T ei T ej c ei ej
S S
dS k dS i j
T e
E A
/ ( )
z
H A e E
T m
H B
z
T ei T mi
Ce
( , , ) cos( ) cos( )
j z
m x y
x y z N k x k y e
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
,
x y x y x x y y
k k k k k k k k
cos( ) sin( )
j z
x y x y
E j k N k x k y e
sin( ) cos( )
j z
y x x y
E j k N k x k y e
0
z
E
sin( ) cos( )
j z
x x x y
H j k N k x k y e
cos( ) sin( )
j z
y y x y
H j k N k x k y e
2 2
( ) cos( ) cos( )
j z
z x y x y
H k k N k x k y e
2 2
*
* *
1 2
1 1
Re[ ( ) ] Re[ ( ) ]
y x
T T
z
x y
S S
P E H e dS E H E H dS
1 2 1 2
,
x x y y
k k k k
,
如果讨论的,可以同上
一样的推到。
但是如果,就要另外讨论:
重写标量磁位和标量电位,并
写出两个场分量:
,
,
,
,
,
同上使用第一个模式的电场叉乘第二个模式的磁场:
由于本征函数和本征函数的模值相
等,所以上述积分为 0。
6-6, 截面为 a×b 的理想矩形波导传输 TE10 模。应用矢量波型函数的概念(p119),在
功率相等和特性阻抗归一化的条件下,求等效电压和电流。
解:传输模,
等效电压,电流为:
波阻抗:
在功率相等和特性阻抗归一化的条件下:
6-7, 试用图 6
-21(b)部分填充介质的矩形波导,导出对 z 的 TEmn 模、TMmn 模的场方程、特征方程和
截止频率表达式。
1 1 1
( , , ) cos( ) cos( )
j z
m x y
x y z N k x k y e
2 2 2
( , , ) sin( ) sin( )
j z
e x y
x y z M k x k y e
1 2 1 2
,
x x y y
k k k k
1 2 1 2
,
x x x y y y
k k k k k k
1
( , , ) cos( ) cos( )
j z
m x y
x y z N k x k y e
2
( , , ) sin( )sin( )
j z
e x y
x y z M k x k y e
1
cos( ) sin( )
j z
x y x y
E j k N k x k y e
2
cos( )sin( )
j z
x x x y
E j k M k x k y e
1
sin( ) cos( )
j z
y x x y
E j k N k x k y e
2
sin( ) cos( )
j z
y y x y
E j k M k x k y e
1
sin( ) cos( )
j z
x x x y
H j k N k x k y e
2
sin( ) cos( )
j z
x y x y
H j k M k x k y e
1
cos( )sin( )
j z
y y x y
H j k N k x k y e
2
cos( )sin( )
j z
y x x y
H j k M k x k y e
2
* *
1 2 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
Re[ ( ) ]
Re{ [ cos ( )sin ( ) sin ( ) cos ( )] }
[cos ( )sin ( ) sin ( ) cos ( )]
x
x y y
S
y x x y y x x y
S
y x x y x y
S
P E H E H dS
k k MN k x k y k k MN k x k y dS
k k MN k x k y k x k y dS
cos( )sin( )
x y
k x k ysin( ) cos( )
x y
k x k y
10
TE
2 2
( )
k
k
a
k k
j z j z
k k k
V j e I j e
TE
k
Z
1
k k k
k k k
j z j z j z
k
k k
TE
j z j z j z
k TE k k k
k
V j e j e j e
Z
I Z j e j e j e
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