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LMI 工具箱介绍

线性矩阵不等式（LMI）工具箱是求解一般线性矩阵不等式问题的一个高性能软件

包。由于其面向结构的线性矩阵不等式表示方式，使得各种线性矩阵不等式能够以自然块

矩阵的形式加以描述。一个线性矩阵不等式问题一旦确定，就可以通过调用适当的线性矩

阵不等式求解器来对这个问题进行数值求解。

LMI 工具箱提供了确定、处理和数值求解线性矩阵不等式的一些工具，它们主要用

于：

z 以自然块矩阵形式来直接描述线性矩阵不等式；

z 获取关于现有的线性矩阵不等式系统的信息；

z 修改现有的线性矩阵不等式系统；

z 求解三个一般的线性矩阵不等式问题；

z 验证结果。

本附录将详细介绍 LMI 工具箱提供的用于解决以上各个问题的相关函数和命令。

A.1 线性矩阵不等式及相关术语

一个线性矩阵不等式就是具有以下一般形式的一个矩阵不等式：

0<+++=

xx LLLxL "

110

)(

(1)

其中：是给定的对称常数矩阵，是未知变量，称为决策变量，

LLL ,,,

xx ,,

∈=

],,[

xx "x

是由决策变量构成的向量，称为决策向量。

尽管表达式（1）是线性矩阵不等式的一个一般表示式，但在大多数实际应用中，线

性矩阵不等式常常不是以一般表示式（1）的形式出现，而是具有以下形式：

),,(),,(

11 nn

XXRXXL "" <

其中的和是矩阵变量的仿射函数，通过适当的代数运算，上式可以写

成线性矩阵不等式的一般表示式（1）的形式。例如，在系统稳定性问题中经常遇到的

Lyapunov 矩阵不等式

)(⋅L )(⋅R

XX ,,

0<+ XAXA

(2)

也是一个线性矩阵不等式，其中的是一个矩阵变量。我们以一个二阶矩阵

为例，将矩阵不等式（2）写成一般表示式（1）的形式。针对二阶矩阵不

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

等式（2），对应的矩阵变量是一个二阶的对称矩阵，，不等式（2）中

的决策变量是矩阵中的独立元。根据对策性，矩阵变量可以写成

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

321

xxx 、、 X

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

321

xxxX

将矩阵

和上式代入矩阵不等式（2），经整理，可得

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

321

xxx (3)

这样就将矩阵不等式（2）写成了线性矩阵不等式的表示式（1）。显然，与 Lyapunov 矩

阵不等式（2）相比，表示式（3）缺少了许多控制中的直观意义。另外，（3）式涉及到

的矩阵也比（2）式中的多。如果矩阵是阶的，则（3）式中的系数矩阵一般有

2)1( +nn 个。因此，这样的表达式在计算机中将占用更多的存储空间。由于这样的一些

原因，LMI 工具箱中的函数采用线性矩阵不等式的结构表示。例如，Lyapunov 矩阵不等

式（2）就以矩阵变量的不等式来表示，而不是用其一般形式（3）来表示。

一般的，一个线性矩阵不等式具有块矩阵的形式，其中每一个块都是矩阵变量的仿射

函数。以下通过一个例子来说明有关描述一个线性矩阵不等式的术语。

考虑控制中的一个线性矩阵不等式：

∞

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

IDB

DICX

BXCXAXA

其中：是给定的矩阵，

NDCBA 、、、、

∈

nn×

和 R

∈

是问题的变量。

N 称为外因子，块矩阵

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

IDB

DICX

BXCXAXA

γγ

),(

称为内因子。外因子可以不是一个正方矩阵，它在许多问题中常常不出现。

和

是问题的矩阵变量。注意标量也可以看成是一个 11

维的矩阵。

z 内因子 ),(

XL 是一个对称块矩阵。根据对称性， ),(

XL 可以由对角线及其上方

的块矩阵完全确定。

z ),(

XL 中的每一块都是矩阵变量

和

的仿射函数。这一函数由常数项和变量

项这两类基本项组成，其中常数项就是常数矩阵或以一些常数矩阵组成的算术表

达式，例如

),(

XL 中的和B

；变量项是包含一个矩阵变量的项，例如

IXA

−, 等。

一个线性矩阵不等式不论多么复杂，都可以通过描述其中每一块的各项内容来确定这

个线性矩阵不等式。

A.2 线性矩阵不等式的确定

LMI 工具箱可以处理具有以下一般形式的线性矩阵不等式：

MXXRMNXXLN ),,(),,(

"" <

其中：是具有一定结构的矩阵变量，左、右外因子

XX ,,

和

是具有相同维数的

给定矩阵，左、右内因子和

)(⋅L )(

⋅

R 是具有相同块结构的对称块矩阵。

注意在线性矩阵不等式的描述中，左边总是指不等式较小的一边，例如对线性矩阵不

等式，

0>X

称为是不等式的右边，0 称为是不等式的左边，常表示成。

X<0

要确定一个线性矩阵不等式系统，需要做以下两步：

．给出每个矩阵变量的维数和结构；

XX ,,

．描述每一个线性矩阵不等式中各个项的内容。

这个过程产生所描述线性矩阵不等式系统的一个内部表示，它以一个单一向量的形式

储存在计算机内，通常用一个名字，例如

lmisys 来表示。该内部表示 lmisys 可以在后面处

理这个线性矩阵不等式时调用。

下面将通过 LMI 工具箱中的一个例子来说明线性矩阵不等式系统的确定。运行

lmidem 可以看到这个例子的完整描述。

例 1：考虑一个具有 4 个输入、4 个输出和 6 个状态的稳定传递函数

BAICG

)()(

−

−= ss

(4)

和一组具有以下块对角结构的输入/输出尺度矩阵

：

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

000

(5)

则在具有时变不确定性系统的鲁棒稳定性分析中提出了以下问题：

寻找一个具有结构（5）的尺度矩阵

，使得 1)(sup

−

DDG

j 。

可以证明：这样一个问题可以转化成一个线性矩阵不等式系统的可行性问题，即寻找

两个对称矩阵

∈

和 DDS

44×

∈

，使得

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

SXB

XBSCCXAXA

(6)

0>X

(7)

IS >

(8)

用命令 lmivar 和 lmiterm 给出线性矩阵不等式系统（6）~（8）的内部描述如下：

setlmis([])

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