Kalman_and_Bayesian_Filters_in_Python

Kalman

Python

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Kalman and Bayesian Filters in Python

Roger R Labbe Jr

August 9, 2015

Contents

Preface 11

0.1 Kalman and Bayesian Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

0.2 Motivation for this Book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

0.3 Reading Online . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

0.4 Host the Book Online for Free at SageMath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

0.4.1 Installation Instructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

0.4.2 Reading/Using Instructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

0.5 PDF Version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

0.6 Downloading the book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

0.7 Installation and Software Requirements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

0.8 My Libraries and Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

0.9 Thoughts on Python and Coding Math . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

0.10 License . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

0.11 Contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

0.12 Resources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1 The g-h Filter 17

1.1 Building Intuition via Thought Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2 The g-h Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3 Notation and Nomenclature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4 NumPy arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4.1 Excercise - Create arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4.2 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.5 Exercise: Write Generic Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.5.1 Solution and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6 Choice of g and h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.7 Exercise: create measurement function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.7.1 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.7.2 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.8 Exercise: Bad Initial Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.8.1 Solution and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.9 Exercise: Extreme Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.9.1 Solution and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.10 Exercise: The Eﬀect of Acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.10.1 Solution and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.11 Exercise: Varying g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.11.1 Solution and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.12 Varying h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.13 Interactive Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.14 Don’t Lie to the Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.15 Tracking a Train . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.16 g-h Filters with FilterPy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 CONTENTS

1.17 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.18 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2 Discrete Bayes Filter 49

2.1 Tracking a Dog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2 Extracting Information from Multiple Sensor Readings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3 Noisy Sensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4 Incorporating Movement Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.5 Adding Noise to the Prediction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.6 Generalizing with Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.7 Integrating Measurements and Movement Updates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.8 The Eﬀect of Bad Sensor Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.9 Drawbacks and Limitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.10 Tracking and Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.10.1 Simulating the Train Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.11 Bayes Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.12 Total Probability Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.13 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.14 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3 Gaussian Probabilities 73

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.2 Mean, Variance, and Standard Deviations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.2.1 Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.2.2 The Mean of a Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.2.3 Standard Deviation of a Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.2.4 Variance of a Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2.5 Why the Square of the Diﬀerences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.3 Gaussians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.4 Nomenclature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.5 Gaussian Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.6 The Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.7 Interactive Gaussians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.8 Computational Properties of the Gaussian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.9 Computing Probabilities with scipy.stats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.10 Fat Tails . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.11 Summary and Key Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.12 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4 One Dimensional Kalman Filters 91

4.1 One Dimensional Kalman Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2 Tracking A Dog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2.1 Simulating the Sensor Measurement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2.2 Simulating the Dog’s movement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2.3 Implemention in Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.3 Math with Gaussians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3.1 Interactive Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.4 Implementing the Update Step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.5 Implementing Predictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.5.1 Animating the Tracking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.6 The Kalman Filter is a g-h Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.7 Fixed Gain Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.8 Implementation in a Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.9 Full Description of the Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

CONTENTS 5

4.9.1 Exercise: Modify Variance Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.10 Introduction to Designing a Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.10.1 Animation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.11 Exercise(optional): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.11.1 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.11.2 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.12 Example: Extreme Amounts of Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.13 Example: Incorrect Process Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.14 Example: Bad Initial Estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.15 Example: Large Noise and Bad Initial Estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.16 Exercise: Interactive Plots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.16.1 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.17 Exercise - Nonlinear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.17.1 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.17.2 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.18 Exercise - Noisy Nonlinear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.18.1 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.18.2 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.19 Derivation From Bayes Theorem (Optional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.20 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5 Multivariate Gaussians - Modeling Uncertainty in Multiple Dimensions 131

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.2 Multivariate Normal Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.3 Using Correlations to Improve Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.4 Multiplying Multidimensional Gaussians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.5 Hidden Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6 Multivariate Kalman Filters - Working with Multiple State Variables 151

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.2 Newton’s Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.3 Linear Algebra with NumPy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.4 Kalman Filter Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.5 Tracking a Dog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6.6 Initialization - Choose State Variables and Set Initial Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.6.1 Step 1: Design State Variable as a Multivariate Gaussian . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.7 Predict Step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.7.1 Step 2: Design the State Transition Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.7.2 Step 3: Design the Process Noise Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.7.3 Step 4: Design the Control Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.7.4 Prediction: Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.8 Update Step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.8.1 Step 5: Design the Measurement Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.8.2 Step 6: Design the Measurement Noise Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.9 Implementing the Kalman Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.10 The Kalman Filter Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.10.1 Prediction Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.10.2 Update Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

6.10.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.11 Exercise: Show Eﬀect of Hidden Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

6.11.1 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

6.11.2 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.12 Adjusting the Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

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ModuleNotFoundError: No module named 'boxmot.motion.kalman_filters.adapters'

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ltc E108: multiple definitions of symbol "image" in both "zf_device_config.o" and "lastlast.o" ltc E106: unresolved external: image_Kalman_filter - (lastlast.o) ltc F019: unrecoverable error: fatal link error make: *** [makefile:154: E09_14_mt9v03x_ips200_display_demo.elf] Error 1

帮我使用python写一份多跟踪器优化算法的演示代码

File "G:\project2\KSVD.py", line 36, in <module> x_filt = kalman_filter(x) File "G:\project2\KSVD.py", line 26, in kalman_filter P_minus = np.dot(np.dot(A, P), A.T) + Q UnboundLocalError: local variable 'P' referenced before assignment

static void Delete_Kalman_Filter(KalmanFilterSys_t **ppSys) { free((*ppSys)->pKalmanX); free((*ppSys)->pKalmanX); free((*ppSys)); *ppSys = 0; };这段代码是什么意思

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